Cette fois, nous ne nous limiterons pas aux limites infinies mais aborderons également les limites divergentes en général. Les limites divergentes nous renseignent sur la manière dont une fonction semble ne pas converger, ce qui peut se produire de diverses façons.

Quand dit-on qu’une limite est divergente ?

On dit qu’une limite est divergente lorsqu’elle ne converge pas vers une valeur réelle. Ce qui peut sembler évident peut en fait se produire de différentes manières :

• Lorsque les limites latérales sont distinctes ou inexistantes, les limites bilatérales n’existent pas.
• Si la fonction n’est pas bien définie, croît de façon illimitée ou oscille à l’infini en s’approchant du point où la limite est calculée, alors la limite latérale ne peut pas exister.

Cela peut s’appliquer, avec certaines particularités, aux limites finies comme aux limites à l’infini, et selon le cas, un type de divergence se produira.

Types de divergence dans les limites

Limites avec des problèmes de domaine

Lorsque nous essayons de calculer une limite de la forme \lim_{x\to x_0}f(x) ou \lim_{x\to +\infty}f(x), nous nous attendons à ce que f(x) soit au moins bien définie pour des valeurs proches de x_0 ou pour un intervalle de la forme [a,+\infty[, respectivement. Si cela n’est pas le cas, aucune des deux définitions des limites ne pourrait avoir de sens ; la fonction ne peut « tendre » vers une valeur si elle n’est pas définie. Dans ces cas, on écrit simplement que la limite n’existe pas : \lim_{x\to x_0}f(x)=\cancel{\exists} et \lim_{x\to +\infty}f(x)=\cancel{\exists}, selon le cas. Il en est de même pour les limites latérales, et il n’y a rien de plus à ajouter à ce type de situation.

Limites latérales distinctes

Considérons une fonction de la forme f(x) = x/|x| et calculons la limite lorsque x\to 0. La première chose que nous remarquerons est que

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1

Dans ce cas, nous constatons que bien que les limites latérales existent, elles sont distinctes. Lorsque cela se produit, nous disons simplement que la limite (bilatérale) ne converge pas, et donc :

\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \cancel{\exists}

Limite des fonctions oscillant à l’infini

Il existe également des fonctions qui, au lieu de tendre vers une certaine valeur, commencent à osciller dans une certaine plage. Un exemple de cela pourrait être une fonction de la forme f(x)= \sin(1/x). Si nous observons ce qui se passe avec cette fonction lorsque x\to 0, nous verrons qu’elle oscille à l’infini.

Lorsque des situations similaires se produisent, nous disons simplement que la limite n’existe pas.

Limites infinies

Voyons ce qui se passe avec la fonction f(x) = 1/x. La première chose que nous verrons est que lorsque x\to 0, la valeur de f(x) croît de façon illimitée, mais la façon dont elle le fera dépendra du côté où la limite est calculée. Intuitivement, nous écrirons

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty

Avec cette notation, nous ne disons pas que la limite existe d’une certaine manière ; nous indiquons simplement comment cette limite n’existe pas. Contrairement aux cas précédents où la limite n’existe pas et ne converge pas vers une valeur concrète ; dans ce cas, elle diverge parce que sa grandeur dépasse tout nombre réel.

Ce que nous venons de revoir peut être formalisé par les définitions suivantes :

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = +\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty \right)

Et de manière analogue :

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = -\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty \right)

Parfois, on parle également de limite tendant vers l’infini (sans signe)

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = \infty := \lim_{x\to x_0}|f(x)| = +\infty

Limites infinies à l’infini

De manière similaire aux limites précédentes, il est possible de définir les limites infinies à l’infini. Par exemple :

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists N \in\mathbb{R} \right) ( N\lt x \rightarrow M \lt f(x) )

Avec cela, nous avons vu toutes les façons dont les limites des fonctions peuvent diverger.