La Formule de Stirling
La formule de Stirling est un outil essentiel pour simplifier les calculs de factorielles de grands nombres, offrant une approximation rapide et pratique.
Ce résultat est particulièrement utile dans des domaines tels que la thermodynamique, la probabilité et l’analyse asymptotique, où l’on travaille souvent avec des nombres extrêmement grands. Comprendre son développement ne facilite pas seulement son application, mais permet aussi d’apprécier sa pertinence dans le calcul efficace et la résolution de problèmes complexes.
Objectifs d’apprentissage :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de
- Comprendre la déduction de la formule de Stirling à partir de la définition de la factorielle via la fonction Gamma.
- Appliquer la formule de Stirling pour approximer les factorielles de très grands nombres.
- Calculer des approximations logarithmiques de factorielles en utilisant des outils de base en logarithmes et exponentielles.
TABLE DES MATIÈRES :
Démonstration de la formule de Stirling
Approximation logarithmique de la factorielle
Exemple : Approximation de la Factorielle d’un Très Grand Nombre
Démonstration de la formule de Stirling
Le développement de la formule de Stirling commence par la définition de la factorielle via la fonction Gamma, qui est :
n! =\Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty t^n e^{-t} \, dt
En utilisant cette expression, nous effectuons un changement de variable : t = nx. Cela implique que x \in [0, \infty[ et dt = n dx. Avec ce changement, l’intégrale se transforme comme suit :
n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle \int_0^\infty (nx)^n e^{-nx} n \, dx = n^{n+1} \int_0^\infty x^n e^{-nx} dx
Ensuite, nous effectuons un second changement de variable : x = 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}}. Cela implique :
\begin{array}{rl} & s = (x-1)\sqrt{n}, \quad s \in [-\sqrt{n}, \infty[ \\ \\ & dx = \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \end{array}
Avec ce changement de variable, l’intégrale prend la forme suivante :
\begin{array}{rl} n! = \Gamma(n+1) &= \displaystyle n^{n+1} \int_{-\sqrt{n}}^\infty \left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^n e^{-n\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right)} \dfrac{ds}{\sqrt{n}} \\ \\ &= \displaystyle \dfrac{n^{n+1}}{\sqrt{n}} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left( 1 + \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)} e^{-n - s\sqrt{n}} ds \\ \\ &= \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n}} ds \end{array}
Nous utilisons maintenant le développement en série de Taylor pour le logarithme naturel :
\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}x^k}{k}
En appliquant ce développement à \ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right), nous développons l’expression exponentielle comme suit :
\begin{array}{rl} n\ln\left(1+\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) - s\sqrt{n} & = \displaystyle n \left[\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}\left(\dfrac{s}{\sqrt{n}} \right)^k}{k} \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = n \left[ \dfrac{s}{\sqrt{n}} - \dfrac{s^2}{2n} + \dfrac{s^3}{3n\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n^2} + \dfrac{s^5}{5n^2\sqrt{n}} \cdots \right] - s\sqrt{n} \\ \\ & = s\sqrt{n} - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots - s\sqrt{n} \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \dfrac{s^3}{3\sqrt{n}} - \dfrac{s^4}{4n} + \dfrac{s^5}{5n\sqrt{n}} \cdots \\ \\ & = - \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}} \end{array}
De cette manière, nous pouvons écrire l’expression complète comme :
n! = \Gamma(n+1) = \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\sqrt{n}}^\infty e^{- \dfrac{s^2}{2} + \displaystyle \sum_{k=3}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}s^k}{k\sqrt{n^{k-2}}}} ds
Ce résultat est fondamental pour calculer les factorielles de très grands nombres. Lorsque n augmente, les termes de la somme dans l’exponentielle tendent vers zéro, ne laissant que le terme dominant. Cela simplifie l’intégrale, qui peut être résolue comme une intégrale gaussienne :
n! = \Gamma(n+1) \approx \displaystyle n^n e^{-n} \sqrt{n} \int_{-\infty}^\infty e^{- \frac{s^2}{2}} ds = n^n e^{-n} \sqrt{n} \sqrt{2\pi}
Ce résultat est connu sous le nom de formule de Stirling pour la factorielle des grands nombres :
\boxed{n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}}
Approximation logarithmique de la factorielle
Un résultat direct de la formule de Stirling est l’approximation logarithmique de la factorielle. En prenant le logarithme naturel de la formule de Stirling, nous obtenons :
\begin{array}{rcl} \ln(n!) \approx \ln\left( \sqrt{2n\pi}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n} \right) &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln\left(\dfrac{n}{e}\right) \\ \\ &=& \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ &\approx & n\ln(n) - n \end{array}
Dans la dernière étape, une approximation supplémentaire est réalisée en négligeant le terme \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi). Ce terme devient insignifiant par rapport à n\ln(n) - n pour de grandes valeurs de n.
La validité de cette approximation est justifiée en calculant l’erreur relative entre les deux expressions :
\begin{array}{rcl} \text{Approximation Initiale} & = & \dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n \\ \\ \text{Approximation Finale} & = & n\ln(n) - n \\ \\ \text{Erreur Relative} &=& \dfrac{\text{Approximation Finale} - \text{Approximation Initiale}}{\text{Approximation Initiale}} \\ \\ &=& \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \end{array}
En calculant la limite lorsque n \to \infty :
\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{n\to\infty} \text{Erreur Relative} & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi)}{\dfrac{1}{2}\ln(2n\pi) + n\ln(n) - n} \\ \\ & = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{-\dfrac{1}{2n}}{\dfrac{1}{2n} + \ln(n) + 1 - 1} = 0 \end{array}
Par conséquent, puisque l’erreur tend vers zéro pour de grandes valeurs de n, nous pouvons utiliser l’approximation logarithmique suivante avec confiance :
\boxed{\ln(n!) \approx n\ln(n) - n}
Exemple : Approximation de la factorielle d’un très grand nombre
Calculer la factorielle de nombres extrêmement grands, comme 10.000!, est pratiquement impossible avec des outils conventionnels en raison de la taille du résultat. Cependant, en utilisant l’approximation logarithmique de la factorielle dérivée de la formule de Stirling, nous pouvons rendre cela faisable même avec des calculatrices basiques.
La formule logarithmique de la factorielle nous indique :
\ln(10.000!) \approx 10.000 \ln(10.000) - 10.000
Pour convertir des logarithmes naturels (\ln) en logarithmes de base 10 (\log), nous utilisons la relation :
\ln(10.000!) = \dfrac{\log(10.000!)}{\log(e)}
Cela implique que :
\log(10.000!) \approx \log(e) \cdot (10.000 \ln(10.000) - 10.000)
Par conséquent :
10.000! \approx 10^{\log(e) \cdot (10.000 \ln(10.000) - 10.000)} \approx 10^{35.657,06}
Voici où nous remarquons que l’expression dans l’exposant devient gérable pour la plupart des calculatrices. Ainsi, bien que nous ne puissions pas visualiser le nombre en raison de sa taille immense, nous savons qu’il compte environ 35.657 chiffres. Cette approche transforme un calcul apparemment inaccessible en quelque chose de réalisable.