Introduction aux Équations Différentielles Ordinaires
Ce cours propose une exploration détaillée des idées fondamentales qui régissent ces équations et leurs applications dans divers domaines. En commençant par une analyse de la nature du changement incessant dans le monde qui nous entoure, on présente des concepts de base tels que les fonctions, les dérivées et leur relation avec le changement continu et discret. On introduit la distinction entre les Équations Différentielles Partielles (EDP) et les Équations Différentielles Ordinaires (EDO), en se concentrant sur l’étude des EDO. Les concepts sont illustrés par des exemples pratiques comme le refroidissement d’une tasse de café, les lois de Newton et les modèles de population. Les étudiants auront l’opportunité de se familiariser avec les équations différentielles qui régissent les phénomènes naturels et physiques, de découvrir comment elles peuvent être représentées mathématiquement et de comprendre certaines techniques permettant d’étudier leurs solutions. Ces connaissances initiales constitueront la base d’études plus avancées sur les équations différentielles et leurs applications en science et en ingénierie.
Objectifs d’apprentissage :
À l’issue de ce cours, l’étudiant sera capable de :
- Comprendre les concepts de base liés aux équations différentielles, tels que la nature du changement, les fonctions, les dérivées et les différences entre les Équations Différentielles Partielles (EDP) et les Équations Différentielles Ordinaires (EDO)
INDEX
Les Équations Différentielles et la Nature des Choses
Le Changement Incessant
Fonctions, dérivées et leurs changements
EDO et EDP
Exemples d’Équations Différentielles Ordinaires
Le refroidissement d’une tasse de café
Les Lois de Newton
Modèle de populations
Les Équations Différentielles et la Nature des Choses
Le Changement Incessant
Dans la nature, tout est en changement constant. Même ce qui semble ne jamais changer, comme la brillance du Soleil, varie si on l’observe à l’échelle temporelle appropriée. Tout change : la brillance des étoiles, la température d’une tasse de café, la position d’un objet et la taille d’une population en sont quelques exemples, et ces taux de changement sont généralement liés à l’état de ce qui change pendant que ce changement se produit.
Une manière intuitive de comprendre le changement est d’observer comment les choses évoluent au fil du temps. Le changement qui se produit par rapport au temps est ce que nous appelons l’évolution, et tout ce que nous pouvons observer est en évolution continue. Mais l’évolution n’est pas la seule forme de changement ; par exemple, bien que notre altitude par rapport au niveau de la mer puisse varier avec le temps, il est plus probable qu’elle change selon notre position (ou coordonnées géographiques).
Fonctions, dérivées et leurs changements
En termes plus généraux, une fonction de plusieurs variables f(x_1,x_2, \cdots, x_n) peut varier si l’une de ses variables change, et ce changement peut être continu ou discret. Pour une fonction de plusieurs variables, le changement continu peut être étudié à travers les dérivées partielles :
\displaystyle \frac{\partial f(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} = \lim_{\Delta x_1 \to 0} \frac{ f(x_1 + \Delta x_1, \cdots, x_n) - f(x_1, \cdots, x_n)}{\Delta x_1}
Si la fonction est d’une seule variable, on utilise la dérivée ordinaire :
\displaystyle \frac{df(x)}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
Si le changement est discret plutôt que continu, on omet simplement le calcul de la limite qui apparaît dans les dérivées.
EDO et EDP
Une équation qui implique une fonction et ses différentes dérivées est appelée une Équation Différentielle. Si ces dérivées sont partielles ou ordinaires, on parle respectivement d’Équations Différentielles Partielles (EDP) ou d’Équations Différentielles Ordinaires (EDO). Pour l’instant, nous allons nous concentrer sur l’étude des équations différentielles ordinaires et examiner quelques exemples dans lesquels elles apparaissent.
Exemples d’Équations Différentielles Ordinaires
Le refroidissement d’une tasse de café
Le taux de refroidissement d’une tasse de café est proportionnel à la différence de température entre l’environnement et le café. Si la température de l’air, T_a, est constante et que la température du café est une fonction du temps T_c=T_c(t),, on peut trouver une équation différentielle qui nous permettra de déterminer la température du café à tout moment. Initialement, nous avons :
\displaystyle \frac{dT_c(t)}{dt} = -\alpha^2(T_c(t) - T_a)
Où \alpha est une constante de proportionnalité, T_a \lt T_c(t) et le signe négatif indique que la température du café diminue. Plus tard, nous verrons que cette équation a une solution de la forme :
T_c(t) = T_a + Be^{-\alpha^2 t}
Où B est une constante à déterminer.
Les Lois de Newton
La deuxième loi de Newton est, essentiellement, une équation différentielle ordinaire, car dans l’expression F=ma (force égale à masse multipliée par accélération), l’accélération, a=d^2x(t)/dt^2,, est la dérivée seconde de la position de l’objet par rapport au temps. Grâce à cette loi, nous pouvons trouver des relations qui décrivent le mouvement des corps, qui sont en réalité des équations différentielles. Un exemple simple est l’étude des ressorts : si nous avons un ressort fixé à un mur d’un côté et à une masse de l’autre, en position d’équilibre, et que nous déplaçons ensuite la masse d’une distance x par rapport à cette position, selon la loi de Hooke, la masse ressentira une force de rappel F=-kx. Alors, selon la deuxième loi de Newton, nous aurons :
\displaystyle -kx(t) = m\frac{d^2x(t)}{dt^2}
Nous verrons plus tard que sa solution est de la forme :
\displaystyle x(t) = A\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t + \phi \right)
Où A et \phi sont des constantes qui seront déterminées par les conditions initiales du problème.
Modèle de populations
Le taux de croissance par habitant d’une population est égal à la différence entre les taux de natalité et de mortalité, c’est-à-dire :
\displaystyle \frac{1}{x(t)} \frac{dx(t)}{dt} = N - M
Si le taux de natalité N reste constant dans le temps et que les décès sont proportionnels à la population, c’est-à-dire M=\alpha^2 x(t),, alors l’équation précédente prend la forme :
\displaystyle \frac{dx(t)}{dt} = x(t) (N - \alpha^2 x(t))
Ceci est connu sous le nom d’« Équation Logistique des Populations ». À partir de cette équation, on peut construire une généralisation pour de nombreuses populations x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t) qui sont en concurrence pour exister, de la manière suivante :
\displaystyle \frac{dx_i(t)}{dt} = x_i(t) \left(N_i - \displaystyle \sum_{j=1}^n\alpha^2_{ij} x_j(t) \right)
Avec i\in\{1,\cdots, n\}. C’est ce que l’on appelle les Équations de Lotka-Volterra.
Conclusion
Tout au long de cette introduction aux Équations Différentielles Ordinaires, nous avons exploré comment les mathématiques peuvent capturer de manière précise et élégante les changements qui se produisent dans le monde naturel. Du refroidissement d’une tasse de café au mouvement d’un ressort ou à la croissance d’une population, les EDO permettent de traduire des dynamiques complexes en relations mathématiques compréhensibles et analysables.
Comprendre la structure et le sens de ces équations ouvre la porte à de multiples disciplines comme la physique, la biologie, l’économie et l’ingénierie. Ce cours pose les bases conceptuelles nécessaires pour poursuivre des études plus avancées, où seront approfondies les techniques de résolution, l’analyse qualitative et les méthodes numériques. Le plus important, cependant, est d’avoir développé une intuition initiale sur la manière dont le langage du changement — les équations différentielles — nous permet de décrire, comprendre et prédire le comportement des systèmes dynamiques.
Dans les prochains cours, nous continuerons à développer des outils plus puissants et à les appliquer à de nouveaux contextes. Les équations différentielles ne nous offrent pas seulement un moyen d’analyser la réalité, mais aussi d’imaginer comment elle pourrait évoluer sous différentes conditions.