Équation des ellipses et des cercles

Résumé :
Ce cours explique comment obtenir l’équation des ellipses à partir de leur définition géométrique, qui stipule que la somme des distances d’un point quelconque de l’ellipse à deux foyers fixes est constante. À travers un développement algébrique détaillé, on déduit l’équation générale des ellipses et leur forme canonique, ainsi que la relation entre les ellipses et les cercles, en montrant qu’un cercle est un cas particulier d’ellipse lorsque les demi-axes sont égaux.

Objectifs d’apprentissage :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de :

Dériver l’équation des ellipses à partir de leur définition géométrique.
Reconnaître la forme générale et la forme canonique de l’équation des ellipses.

SOMMAIRE
Formulation géométrique
Obtention de l’équation des ellipses
Équation générale des ellipses
Équation canonique des ellipses
Réduction à l’équation des cercles

Formulation géométrique

Pour obtenir l’équation décrivant les ellipses, il faut raisonner comme avec les paraboles, sur la signification géométrique de ces dernières. Une ellipse est l’ensemble de tous les points du plan tels que la somme des distances entre ces points et deux points appelés foyers est toujours la même.

C’est-à-dire, on aura :

$d(f_1,p) + d(f_2,p) = constante$

Obtention de l’équation des ellipses

À partir de la définition géométrique des ellipses, on peut obtenir une expression algébrique qui les décrit. Pour simplifier cela, nous considérerons, sans perte de généralité, que les foyers sont situés aux points $f_1 =(-c,0)$ et $f_2 =(c,0),$ de sorte que si un point quelconque $p=(x,y)$ fait partie de l’ellipse, on aura :

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$

Où $a\in\mathbb{R}$ est une constante fixe. À partir de cela, nous pouvons construire le raisonnement suivant :

(1)	$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$	; Définition géométrique de l’ellipse
	$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
(2)	$(x-c)^2 + \cancel{y^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + \cancel{y^2}$	; en élevant au carré (1)
	$(x-c)^2 = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2$
	$\cancel{x^2} -2xc + \cancel{c^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \cancel{x^2} +2xc + \cancel{c^2}$
	$-2xc = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} +2xc$
	$4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 4a^2 +4xc = 4(a^2 + xc)$
	$a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + xc$
(3)	$a^2 [(x+c)^2 + y^2] = (a^2 + xc)^2$	; en élevant au carré (2)
	$a^2 [x^2 + 2xc + c2 + y^2] = a^4 +2a^2xc + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + \cancel{2xca^2} + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + \cancel{2a^2xc} + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + x^2c^2$
	$x^2 (a^2 - c^2) + a^2 y^2 = a^4 - a^2 c^2 =a^2(a^2-c^2)$
	$\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{a^2-c^2} = 1$
(4)	$0\lt a^2 - c^2 =: b^2$	; Le nombre représenté par $b^2$ est positif, comme on le voit sur le schéma.
(5)	${\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{b^2} = 1}$	; D’après (3) et (4)
	$\boxed{\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1}$

Ceci est ce que nous appelons « l’équation des ellipses ».

Équation générale des ellipses

L’équation que nous venons d’obtenir peut être amenée à sa forme générale à l’aide de transformations de translation en substituant $x\longmapsto (x-h)$ et $y\longmapsto (y-k).$ Cela nous amène à la forme générale de l’équation des ellipses :

$\boxed{\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1}$

C’est une ellipse centrée au point $(h,k)$

Équation canonique des ellipses

En réalisant des opérations algébriques, on obtient l’équation canonique des ellipses :

(1)	$\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; équation générale des ellipses
	$b^2 (x-h)^2 + a^2(y-k)^2 = a^2 b^2$	; Multiplier tout par $a^2b^2$
	$b^2 [x^2-2xh+h^2] + a^2[y^2-2yk + k^2] = a^2 b^2$	; Développer les carrés
	$b^2 x^2-2hb^2 x + h^2b^2 + a^2 y^2-2ka^2y + k^2a^2 = a^2 b^2$	; Développer les parenthèses
	$b^2 x^2- 2hb^2 x + a^2 y^2-2ka^2y +(h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2) = 0$	; Regrouper les termes constants

Dans cette dernière expression, on peut faire les substitutions $A:=b^2,$ $B:=-2hb^2,$ $C:=a^2,$ $D:=-2ka^2$ et $E:=h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2.$ Ainsi, nous verrons que les ellipses seront décrites par des équations de la forme :

$Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$

C’est ce que nous appelons « l’équation canonique des ellipses ».

À partir de ces développements, on peut tirer certaines restrictions sur les constantes de l’équation canonique. La plus importante est que $A$ et $B$ doivent avoir le même signe ; sinon, nous parlerons d’une hyperbole au lieu d’une ellipse. Il existe d’autres restrictions sur les constantes de la représentation canonique, mais nous les aborderons en détail lorsque nous examinerons la caractérisation des ellipses et des hyperboles.

Réduction à l’équation des cercles

Lorsque nous parlerons de la caractérisation des ellipses, nous verrons que les constantes $a$ et $b$ de l’équation générale correspondent aux demi-axes de l’ellipse. Si nous rendons les deux demi-axes égaux, en fixant $a=b=r,$ alors l’ellipse se transformera en un cercle de rayon $r.$

Équation générale des cercles

De cette façon, on obtient l’équation générale des cercles :

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

Équation canonique des cercles

De manière similaire, on obtient l’équation canonique des cercles :