Brechung an sphärischen Grenzflächen

Zusammenfassung:
In dieser Vorlesung analysieren wir die Brechung an sphärischen Grenzflächen und heben hervor, wie sich das Licht beim Durchgang durch sphärische Oberflächen verhält und wie Bilder entstehen. Es werden die Schlüsselformeln zur Berechnung der Position und Größe der Bilder vorgestellt. Außerdem werden praktische Fälle wie Linsen und die Schätzung scheinbarer Tiefen behandelt.

Lernziele:
Am Ende dieser Vorlesung ist der Studierende in der Lage,

1. zu verstehen, wie sich Licht beim Durchgang durch sphärische Grenzflächen bricht.
2. abzuleiten und die Objekt-Bild-Beziehung für sphärische Grenzflächen zu verwenden.
3. das Snelliussche Gesetz im Kontext sphärischer Grenzflächen anzuwenden.
4. die Position des durch eine sphärische Grenzfläche gebildeten Bildes zu bestimmen.
5. die Vergrößerung des Bildes durch Brechung an sphärischen Oberflächen zu berechnen.
6. das Vorzeichenkonzept für die Position und Größe von Objekten und Bildern zu verstehen.
7. sphärische Grenzflächen mit ebenen Grenzflächen als Grenzfall in Beziehung zu setzen.
8. die Bildung erweiterter Bilder durch sphärische Grenzflächen zu analysieren.

INHALTSVERZEICHNIS
Einleitung
Die Objekt-Bild-Beziehung für die Brechung an sphärischen Grenzflächen
Beziehungen zwischen den Winkeln ableiten
Einführung des Snelliusschen Gesetzes
Bildentstehung durch Brechung auf der anderen Seite sphärischer Grenzflächen
Synthese
Ebenen Grenzflächen als Grenzfall der sphärischen
Übungen

Einleitung

Wir haben bereits untersucht, wie die Brechung funktioniert; das heißt, was geschieht, wenn Licht von einem Medium in ein anderes übergeht. Bisher haben wir dies jedoch nur für den Fall betrachtet, dass die Grenzfläche zwischen den Medien eine ebene Oberfläche ist. In der Natur wie auch in praktischen Anwendungen ist es jedoch nicht schwierig, Brechungsprozesse an sphärischen Grenzflächen zu finden. Beispiele hierfür sind das menschliche Auge (und in Wirklichkeit das fast jedes Tieres) sowie die meisten optischen Geräte, die sowohl im Alltag als auch in industriellen Anwendungen eingesetzt werden.

In der folgenden Abbildung ist dargestellt, wie eine Linse durch zwei sphärische Oberflächen aufgebaut wird.

Für die detaillierte Untersuchung dieser Art von Geräten ist es notwendig zu überprüfen, wie sich Licht verhält, wenn es durch eine sphärische Grenzfläche von einem Medium in ein anderes übergeht.

Die Objekt-Bild-Beziehung für die Brechung an sphärischen Grenzflächen

Wir beginnen unsere Untersuchung, indem wir erforschen, wie sich Licht beim Übergang von einem Medium in ein anderes durch eine sphärische Grenzfläche verhält. Dazu betrachten wir eine Kugel mit dem Radius R, die aus einem Material mit Brechungsindex n_b besteht und in einem Medium mit Brechungsindex n_a eingetaucht ist.

Ableitung von Beziehungen zwischen den Winkeln

Wenn wir die in dieser Abbildung beteiligten Winkel analysieren, stellen wir fest, dass:

\begin{array}{rll} {(1)}& \theta_a & =\alpha + \phi \\ \\ {(2)}& \phi & =\beta + \theta_b \end{array}

Beweis

Die erste Gleichung ergibt sich daraus, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks zwei rechten Winkeln entspricht:

\begin{array}{rl} & \alpha + \phi + (\pi - \theta_a) = \pi\\ \\ \equiv & \alpha + \phi - \theta_a = 0 \\ \\ \equiv & \color{blue}{\theta_a = \alpha + \phi} \end{array}

Die zweite wird in analoger Weise erhalten:

\begin{array}{rl} & \beta + \theta_b + (\pi - \phi) = \pi\\ \\ \equiv & \beta + \theta_b - \phi = 0\\ \\ \equiv & \color{blue}{\phi = \beta + \theta_b } \end{array}

Einführung des Snelliusschen Gesetzes

Aus der Abbildung ergeben sich außerdem die folgenden Ausdrücke:

\begin{array}{rll} {(3)}&\tan(\alpha) &=\displaystyle \frac{h}{s+\delta}\\ \\ {(4)}&\tan(\beta) &=\displaystyle \frac{h}{s^\prime - \delta}\\ \\ {(5)}&\tan(\phi) &=\displaystyle \frac{h}{R - \delta} \end{array}

Und aus dem Snelliusschen Gesetz erhalten wir

\begin{array}{rl} {(6)} & n_a\sin(\theta_a) = n_b \sin(\theta_b)\end{array}

Wenn wir nun die Näherung machen, dass \theta_a und \theta_b klein sind, dann werden auch \alpha, \beta und \phi klein sein, und es gilt:

Aus der Abbildung ergeben sich außerdem die folgenden Ausdrücke:

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) &\approx \theta_a \\ \\ \sin(\theta_b) &\approx \theta_b \\ \\ \delta &\approx 0 \\ \\ \tan(\alpha) &\approx \alpha \\ \\ \tan(\beta) &\approx \beta \\ \\ \tan(\phi) &\approx \phi \end{array}

Daraus und aus dem Snelliusschen Gesetz ergibt sich:

\begin{array}{rl} {(7)} & n_a \theta_a \approx n_b \theta_b \\ \\ \equiv & \theta_b \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b} \theta_a \end{array}

Nun ergibt sich aus (7), (1) und (2):

\begin{array}{rl} {(8)} & \phi - \beta \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ \equiv & \phi \approx \beta + \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ {}\equiv & n_b\phi \approx n_b\beta + n_a \alpha + n_a\phi \\ \\ \equiv & \color{blue}{n_a \alpha + n_b\beta \approx (n_b - n_a) \phi } \end{array}

Schließlich erhält man aus (8), den Näherungen und den Gleichungen (3), (4) und (5):

\begin{array}{rl} {(9)} & \displaystyle n_a \left( \frac{\color{red}{h}}{S + \underbrace{\delta}_{\to 0}} \right) + n_b \left(\frac{\color{red}{h}}{S^\prime - \underbrace{\delta}_{\to 0} } \right) \approx (n_b - n_a) \left(\frac{\color{red}{h}}{R-\underbrace{\delta}_{\to 0}}\right) \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \frac{n_b - n_a}{R} } \end{array}

Dies wird als Objekt-Bild-Beziehung für die Brechung an sphärischen Grenzflächen bezeichnet.

Bildentstehung erweiterter Objekte durch Brechung auf der anderen Seite sphärischer Grenzflächen

Sehen wir uns nun an, was geschieht, wenn wir die punktförmige Lichtquelle durch ein erweitertes Objekt ersetzen. Dies wird in der folgenden Abbildung dargestellt:

Die vorherige Analyse gibt uns bereits die Beziehung zwischen S und S^\prime, nun fehlt uns nur noch die Beziehung zwischen den Größen des Objekts und des Bildes.

Aus der Abbildung ergibt sich:

\begin{array}{rl} \tan(\theta_a) & =\displaystyle \frac{y}{S} \\ \\ \tan(\theta_b) & =\displaystyle - \frac{y^\prime}{S^\prime} \end{array}

Dies werden wir mit dem Snelliusschen Gesetz kombinieren

n_a\sin(\theta_a) = n_b\sin(\theta_b).

Dabei stützen wir uns auf die Tatsache, dass für kleine Winkel die Näherung gilt

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) & \approx \tan(\theta_a) \\ \\ \sin(\theta_b) & \approx \tan(\theta_b) \end{array}

So können wir schreiben

\begin{array}{rl} &\displaystyle n_a \frac{y}{S} \approx- n_b \dfrac{y^\prime}{S^\prime} \\ \\ \equiv & \displaystyle \dfrac{y^\prime}{y} \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \\ \\ \end{array}

Erinnern wir uns nun an das, was wir für sphärische Spiegel gesehen haben, so erhalten wir etwas Analoges. An diesem Punkt können wir den Vergrößerungsfaktor m (wieder) definieren durch:

m=\displaystyle \frac{y^\prime}{y}

so dass gilt:

\displaystyle \color{blue}{m\approx -\frac{n_a S^\prime}{n_b S}}

Synthese

Zusammenfassend haben wir bisher zwei Ergebnisse abgeleitet, die es uns ermöglichen, die Bildentstehung zu bestimmen, wenn das von einem Objekt emittierte Licht durch eine sphärische Grenzfläche geht. Diese sind die folgenden Gleichungen:

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{n_a}{S} + \dfrac{n_b}{S^\prime} & \approx \dfrac{n_b - n_a}{R} \\ \\ m & \displaystyle \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \end{array}

Mit diesen beiden Gleichungen kannst du sowohl die Position des Bildes als auch die Orientierung und Größe des Bildes berechnen, und sie gelten unabhängig davon, ob die Grenzfläche konkav oder konvex ist. An diesem Punkt ist es jedoch notwendig, das Vorzeichenkonzept zu präzisieren.

Vorzeichenkonvention

Mit diesen beiden Gleichungen kannst du berechnen, sowohl die Position des Bildes als auch die Orientierung und Größe des Bildes, und sie gelten unabhängig davon, ob die Grenzfläche konkav oder konvex ist. An diesem Punkt ist es jedoch notwendig, das Vorzeichenkonzept zu präzisieren.

Die Grenzfläche teilt den Raum in zwei Bereiche, einen, in dem sich das Objekt befindet, und den anderen, in dem sich das Bild befindet. Dementsprechend gilt:

• Objektposition S: Positiv, wenn sie sich auf der Objektseite befindet, negativ, wenn sie sich auf der Bildseite befindet.
• Bildposition S^\prime und Krümmungsradius R: Positiv, wenn sie sich auf der Bildseite befinden, negativ, wenn sie sich auf der Objektseite befinden.
• Größe des Objekts und des Bildes, y und y^\prime: Positiv, wenn sie sich oberhalb der optischen Achse befinden, negativ, wenn sie sich unterhalb der optischen Achse befinden.

Ebenen Grenzflächen als Grenzfall der sphärischen

Alles, was wir für sphärische Grenzflächen entwickelt haben, dient auch dazu, ebene Grenzflächen besser zu verstehen. Tatsächlich können wir eine ebene Grenzfläche als ein Stück einer sphärischen Grenzfläche mit sehr großem Krümmungsradius auffassen; wenn wir nämlich Grenzwerte für die Objekt-Bild-Beziehung bei sphärischen Grenzflächen bilden, wenn der Radius gegen unendlich geht, ergibt sich:

\displaystyle \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime} = \lim_{R\to \infty} \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \lim_{R\to \infty} \frac{n_b - n_a}{R} = 0

Und wenn wir daraus den Vergrößerungsfaktor berechnen, erhalten wir:

m=1

Das heißt, dass das Bild seine Größe und Orientierung beibehält, sich jedoch seine wahrgenommene Position ändert.

Übungen

1. Vor einer zylindrischen Glasstange befindet sich ein Partikel, wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Wenn sich das Partikel in einem Abstand von 30[cm] von der Stange befindet und deren Spitze annähernd sphärisch mit einem Radius von R=1,5[cm], ist, berechne die Position des innerhalb der Stange erzeugten Bildes.
2. Betrachten wir dieselbe Stange wie in der vorherigen Aufgabe, aber nun befindet sie sich unter Wasser. Wenn sich vor ihr eine Nadel mit einer Höhe von 1[cm] im gleichen Abstand von 30[cm], befindet, berechne den Ort und die Höhe des Bildes.
3. Eine Person schaut auf den Boden eines Schwimmbeckens, um dessen Tiefe zu schätzen. Als Orientierung dient ein auf den Boden gemalter Pfeil. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der tatsächlichen und der scheinbaren Tiefe?