Álgebra e Projeções em Rn, Produto Vetorial em {\mathbb{R}^3}

Resumo:
Esta série é a continuação direta da série sobre o Espaço Euclidiano de n dimensões. Aqui revisaremos alguns conceitos de álgebra linear que ajudam a compreender melhor o espaço euclidiano n-dimensional, revisaremos os conceitos de projeções de um vetor sobre outro, demonstraremos o teorema de Pitágoras e concluiremos com uma revisão do produto vetorial em \mathbb{R}^3 e sua relação com os outros produtos do espaço Euclidiano 3-dimensional.

ÍNDICE
Independência Linear, Ortogonalidade e Projeções
O Teorema de Pitágoras e a Projeção sobre um Subespaço
O Produto Escalar e Vetorial em \mathbb{R}^3

Independência Linear, Ortogonal e Projeções

Combinação linear e independência linear

Um vetor não nulo \vec{z} pode ser construído como uma combinação linear em relação a outros vetores não nulos \vec{x} e \vec{y} se existe um par de números reais \alpha e \beta, não ambos nulos simultaneamente, tais que:

\vec{z} = \alpha \vec{x} + \beta\vec{y}

Ou seja, o vetor \vec{z} pode ser construído como uma soma ponderada dos vetores \vec{x} e \vec{y}.

De forma análoga, diz-se que os vetores \vec{x} e \vec{y} são linearmente independentes se

(\alpha \vec{x} + \beta\vec{y} = \vec{0} ) \longleftrightarrow (\alpha=0 \wedge \beta=0 )

A independência linear entre os vetores \vec{x} e \vec{y} nos diz que \vec{y} não pode ser obtido como um múltiplo escalar (não nulo) de \vec{x} nem vice-versa.

O conceito de independência linear que acabamos de revisar pode ser estendido para conjuntos maiores de vetores. O conjunto de vetores não nulos \{\vec{x}_1, \cdots, \vec{x}_n\} diz-se linearmente independente quando

\displaystyle \left[\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i \right) = \vec{0} \right] \longleftrightarrow \left[\bigwedge_{i=1}^n (\alpha_i = 0) \right]

O ângulo formado por dois vetores e a ortogonalidade

Se recordarmos a desigualdade de Cauchy-Schwarz, esta nos diz que (\forall \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n)(|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|). Tendo isso em conta é fácil constatar que para qualquer par de vetores \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} cumpre-se a relação:

\displaystyle -1 \leq \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|}\leq 1

Agora podemos intuir uma relação entre o produto escalar e o ângulo formado pelos vetores \vec{x} e \vec{y}, porque estes geram um plano isométrico a \mathbb{R}^2. Por isso, sem perda de generalidade, podemos imaginá-los como sendo elementos de \mathbb{R}^2 com ângulos em relação ao eixo \hat{x} de \theta_x e \theta_y, respectivamente, de modo que os vetores ficam escritos em forma polar como:

\begin{array}{rl} \vec{x} &= \|\vec{x}\|(\cos(\theta_x) , \sin(\theta_x)) \\ \\ \vec{y} &= \|\vec{y}\|(\cos(\theta_y) , \sin(\theta_y)) \end{array}

Assim podemos supor (sem perda de generalidade, outra vez) que \theta_x \lt \theta_y, para então calcular o produto escalar \vec{x}\cdot\vec{y}. Fazendo isso teremos o seguinte resultado:

\begin{array}{rl}\vec{x}\cdot \vec{y} &= \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| (\cos(\theta_x)\cos(\theta_y) + \sin(\theta_x)\sin(\theta_y)) \\ \\ &= \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| \cos(\theta_y-\theta_x) \end{array}

Agora, tomando a diferença entre a posição angular maior e a menor obtemos o ângulo compreendido entre os vetores, \angle(\vec{x},\vec{y})=\theta_y - \theta_x. E com isso agora podemos escrever:

\displaystyle \cos\left(\angle(\vec{x},\vec{y}) \right) = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|}

Aqui devemos destacar que \angle(\vec{x},\vec{y})\in [0, \pi]

A partir disso podemos conectar a desigualdade de Cauchy-Schwarz com a geometria dos ângulos, e além disso nos permite obter uma noção rigorosa de ortogonalidade. Dois vetores dizem-se Ortogonais quando sustentam entre si um ângulo de \pi/2 radianos, no sentido explicado no parágrafo anterior. Isto é equivalente a dizer que \cos\left(\angle(\vec{x},\vec{y})\right) = 0, o que por sua vez é equivalente a dizer que \vec{x}\cdot\vec{y} = 0. Por este motivo, afirmar a ortogonalidade dos vetores \vec{x} e \vec{y} é equivalente a dizer que \vec{x}\cdot\vec{y}=0.

Se dois vetores não nulos são ortogonais, então são linearmente independentes

Esta é uma propriedade algo intuitiva dos vetores de \mathbb{R}^n cuja demonstração formal não é tão direta, e também é uma propriedade que em ocasiões pode gerar certa confusão: A ortogonalidade de dois vetores implica a independência linear entre eles, mas a independência linear entre dois vetores não necessariamente implica sua ortogonalidade. Para ver isto último basta um simples contraexemplo:

Se tomarmos os vetores \vec{A}=(1,0) e \vec{B}=(1,1), que claramente não são ortogonais porque \vec{A}\cdot\vec{B}=1, veremos que se fizermos

\alpha\vec{A} + \beta\vec{B} = \vec{0}

Então tem-se que

\begin{array}{rl} \alpha + \beta &= 0 \\ \beta &= 0 \end{array}

e portanto: \alpha = 0 \wedge \beta=0. E com isso conclui-se que:

\alpha\vec{A} + \beta\vec{B} = \vec{0} \longleftrightarrow \alpha = 0 \wedge \beta=0

O que é equivalente a dizer que \vec{A} e \vec{B} são linearmente independentes. Com isso fica claro de forma muito explícita que não é verdade que a independência linear implique ortogonalidade. No entanto, a ortogonalidade sim implica a independência linear e é o que demonstrarei formalmente a seguir, e para isso consideremos o seguinte conjunto de premissas:

\mathcal{H}= \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0, \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}\}

A partir disso podemos produzir o seguinte raciocínio:

\begin{array}{rll} (1) &\mathcal{H}\vdash \vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} &{;\;Presun\c{c}ão}\\ \\ (2) &\mathcal{H}\vdash \vec{x}\cdot\vec{y}=0 &{\;Presun\c{c}ão} \\ \\ (3) &\mathcal{H}\vdash \alpha\vec{x} + \beta\vec{y} = \vec{0} &{\;Presun\c{c}ão} \\ \\ (4) &\mathcal{H}\vdash (\alpha\vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{x} = \alpha\|\vec{x}\|^2 + \beta(\vec{x}\cdot\vec{y}) &{;\; Bilinearidade} \\ \\ (5) &\mathcal{H}\vdash \alpha\|\vec{x}\|^2 = 0 & {;\; De(2,3,4)} \\ \\ (6) &\mathcal{H}\vdash \alpha = 0 & {;\; De(1,5)} \\ \\ (7) &\mathcal{H}\vdash (\alpha\vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{y} = \alpha(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \beta\|\vec{y}\|^2 & {;\;Bilinearidade} \\ \\ (8) &\mathcal{H}\vdash \beta\|\vec{y}\|^2 = 0 &{;\;De(2,3,7)} \\ \\ (9) &\mathcal{H}\vdash \beta = 0 &{;\;De(1,8)} \\ \\ (10) &\mathcal{H}\vdash \alpha= 0 \wedge \beta = 0 &{;\;\wedge-int(6,9)} \end{array}

Com isso concluímos que

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0, \alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}\} \vdash \alpha= 0 \wedge \beta = 0

Finalmente, aplicando o teorema da dedução sobre esta última expressão tem-se:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\cdot\vec{y}=0\} \vdash (\alpha\vec{x}+\beta\vec{y} = \vec{0}) \rightarrow (\alpha= 0 \wedge \beta = 0)

A prova com a qual se obtém a seta na direção contrária é trivial.

Ou seja: se \vec{x} e \vec{y} são vetores não nulos e ortogonais, então são linearmente independentes.

A projeção de um vetor sobre outro

Suponhamos que temos dois vetores não nulos \vec{x} e \vec{y} que sustentam entre si um ângulo \angle(\vec{x},\vec{y}) e nos perguntamos “Em que quantidade o vetor \vec{x} se encontra sobre o vetor \vec{y}?” ou “De que tamanho é a sombra do vetor \vec{x} quando se projeta sobre a direção do vetor \vec{y}?”. Esta pergunta podemos resolver através da trigonometria, e com isso definir a projeção de um vetor \vec{x} sobre outro \vec{y}, Proy_{\vec{y}}(\vec{x}), através da expressão:

Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) = \| \vec{x}\| \cos(\angle(\vec{x},\vec{y})) \hat{y}

Se combinarmos isso com o que vimos em parágrafos anteriores podemos escrever:

\displaystyle Proy_{\vec{y}}(\vec{x}) = {\| \vec{x}\|} \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{{\|\vec{x}\|} \|\vec{y}\|}\right)\color{red}{\hat{y}} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|} \right)\color{red}{\frac{\vec{y}}{\|\vec{y}\|}} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|^2}\right)\vec{y} = \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\vec{y}\cdot\vec{y}}\right)\vec{y}

já que, recordemos

\displaystyle \cos(\angle(\vec{x},\vec{y})) = \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\| \|\vec{y}\|}

As projeções são importantes porque nos permitem expressar os vetores em termos de qualquer base como a soma de suas projeções:

\vec{x} = \displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \hat{u}_i

Onde \{\vec{u}_i\}_{i=1,\cdots, n} é uma base de vetores linearmente independentes de \mathbb{R}^n e os coeficientes \alpha_i = (\vec{x}\cdot\vec{u}_i)/\|\vec{u}_i\| são justamente as projeções sobre cada elemento da base e que constituem as coordenadas \vec{x} em relação à base \{\hat{u}_i\}_{i=1,\cdots, n} de \mathbb{R}^n.

O Teorema de Pitágoras e a Projeção sobre um Subespaço

O teorema de Pitágoras é um resultado conhecido por todos e que conta com inúmeras demonstrações. Uma demonstração possível deste teorema emerge justamente das matérias que desenvolvemos para o espaço euclidiano com o adicional de ser válido para qualquer número de dimensões.

Demonstração do Teorema de Pitágoras

Se temos um triângulo retângulo de catetos a e b, e hipotenusa c, o teorema de Pitágoras nos diz que a^2+b^2=c^2. Entendido isso, podemos representar cada cateto através de um par de vetores ortogonais \vec{x} e \vec{y} e escrever o teorema de Pitágoras da seguinte maneira:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \leftrightarrow (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2)

Onde a expressão \vec{x}\bot\vec{y} indica que ambos os vetores são ortogonais, ou seja: não nulos e tais que \vec{x}\cdot\vec{y}=0. Desse modo, estabelece-se uma relação de bicondicionalidade entre a ortogonalidade e a soma das magnitudes ao quadrado de dois vetores.

Esta forma vetorial de representar o teorema de Pitágoras pode ser demonstrada através dos seguintes dois raciocínios:

Primeiro de ida:

\begin{array}{rll} (1) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;Presun\c{c}ão} \\ \\ (2) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \vec{x}\cdot\vec{y}= 0 & {;\;De(1)} \\ \\ (3) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) = \|\vec{x}\|^2 + 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 & \\ &;\; Propriedade\;da\;norma\;euclidiana\;e\;do\;produto\;escalar & \\ \\ (4) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \vec{x}\bot\vec{y}\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2 & {;\;De(2,3)} \\ \\ (5) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \rightarrow ( \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2) & {;\;TD(4)} \end{array}

E agora de volta:

\begin{array}{rll} (1) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2 & {;\;Presun\c{c}ão} \\ \\ (2) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 +2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 & \\ &;\; Propriedade\;da\;norma\;euclidiana\;e\;do\;produto\;escalar &\\ \\ (3) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \vec{x}\cdot\vec{y}=0 & {;\;De(1,2)} \\ \\ (4) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;De(3)} \\ \\ (5) & \{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2) \rightarrow \vec{x}\bot\vec{y} & {;\;TD(4)} \end{array}

E finalmente, juntando ambos raciocínios tem-se o que se queria demonstrar:

\{\vec{x},\vec{y}\in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}\} \vdash \vec{x}\bot\vec{y} \leftrightarrow (\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2)

A Projeção de um vetor sobre um Subespaço de \mathbb{R}^n

Consideremos um subespaço H de \mathbb{R}^n formado por uma base de vetores unitários \{\hat{v}_1, \cdots, \hat{v}_k\}. Se tomarmos um vetor \vec{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}, define-se a projeção do vetor \vec{x} sobre o espaço H através da expressão:

Proy_{H}(\vec{x}) = \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j

Que um conjunto seja ortonormal quer dizer que todos os seus elementos são ortogonais entre si e cada um tem norma igual à unidade.

Isto é, por assim dizer, a sombra que projeta um vetor sobre cada uma das componentes do subespaço H de \mathbb{R}^n

Distância entre um Ponto ou Vetor de \mathbb{R}^n e um Subespaço de \mathbb{R}^n

A partir da projeção de um vetor \vec{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\} sobre um subespaço H de \mathbb{R}^n pode-se construir um vetor da forma

\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})

O vetor formado desta maneira será um vetor que une um ponto do subespaço H com o ponto de coordenadas \vec{x}, que sai ortogonalmente ao subespaço H. Isto não é difícil de provar: se tomarmos um vetor qualquer \vec{z}\in H e calcularmos o produto escalar (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z}, basta ver que o resultado desta operação é zero. Façamos as contas para verificar se de fato isso é assim:

Se \vec{z}\in H, então será da forma

\vec{z}=\displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j

Onde \{\hat{v}_j\}_{j=1}^k é uma base ortonormal de H e \beta_j \in\mathbb{R} são os coeficientes de \vec{z} em H. Tendo isso em conta, o cálculo do produto escalar (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z}, dará:

\begin{array}{rl} (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} &= \left(\vec{x} - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \right) \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \vec{x} \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \end{array}

Mas como \vec{x} é um vetor de \mathbb{R}^n do qual H é subespaço, é possível encontrar um conjunto de n-k vetores ortonormais entre si e ao mesmo tempo ortonormais a todos os vetores de H, digamos \{\hat{v}_{k+1}, \cdots, \hat{v}_n\}, de modo tal que junto à base de H formem uma base para \mathbb{R}^n e se possa escrever

\vec{x} = \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j + \sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j

De modo que o desenvolvimento acima segue da forma:

\begin{array}{rl} (\vec{x}-Proy_{H}(\vec{x}))\cdot \vec{z} &= \displaystyle \left( \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j + \sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j\right) \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j + \underbrace{\color{red}{\sum_{j=k+1}^n \alpha_j \hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j}}_{(*)} - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x}\cdot\hat{v}_j )\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j - \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j \cdot \sum_{j=1}^k \beta_j\hat{v}_j \\ \\ &= 0 \end{array}

(*) Soma zero porque \{v_j\}_{j=1}^n é uma base ortonormal de \mathbb{R}^n.

A partir disso podemos demonstrar que a distância entre o subespaço H e o vetor \vec{x} é dada por:

\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\|

Demonstração

Para demonstrar este resultado mostrar-se-á que para todo \vec{z}\in H sempre se cumprirá que \|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\| \leq \|\vec{x} - \vec{z}\|, para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras da seguinte maneira:

\begin{array}{rl} \|\vec{x} - \vec{z}\|^2 &= \| \left(\vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) \right) + \left(Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z}\right)\|^2 \\ \\ &= \| \vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) \|^2 + \|Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z}\|^2 \\ \\ \end{array}

Esta última igualdade obtém-se porque os vetores \vec{x} -Proy_{H}(\vec{x}) e Proy_{H}(\vec{x}) - \vec{z} são ortogonais. E portanto:

\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\|^2 \leq \|\vec{x} - \vec{z}\|^2

que é o que se queria demonstrar.

Já com este resultado em nossas mãos, podemos dizer que a distância entre um ponto \vec{x}\in\mathbb{R}^n e um subespaço H de \mathbb{R}^n gerado pelos vetores ortonormais \{\hat{v}_1, \cdots, \hat{v}_k\} é dada por:

dist(\vec{x},H) =\left\|\vec{x} - Proy_{H}(\vec{x})\right\|= \left\|\vec{x} - \displaystyle \sum_{j=1}^k (\vec{x} \cdot \hat{v}_j)\hat{v}_j\right\|

O Produto Escalar e Vetorial em \mathbb{R}^3

Agora mudaremos um pouco nosso enfoque para nos centrarmos nos vetores de \mathbb{R}^3. Aqui, além das operações que já revisamos em geral para \mathbb{R}^n, é possível também o produto vetorial que, a partir do produto de dois vetores, dá como resultado outro vetor. Este é um produto exclusivo de \mathbb{R}^3 (e possivelmente de \mathbb{R}^7, cujo caso não analisaremos aqui). Geralmente, os vetores da base canônica de \mathbb{R}^3 são representados pelas letras \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} ou como \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}. A preferência de uma ou outra é pessoal.

\begin{array}{rl} \hat{\imath} = \hat{x}&=(1,0,0)\\ \hat{\jmath} =\hat{y}&=(0,1,0)\\ \hat{k} =\hat{z}&=(0,0,1)\\ \end{array}

Assim, se temos um vetor da forma (a,b,c), pode ser escrito em forma algébrica da seguinte maneira:

(a,b,c) = a\hat{x} + b\hat{y} + c\hat{z}

O produto vetorial em \mathbb{R}^3

Sejam \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) e \vec{y}=(y_1,y_2,y_3) vetores de \mathbb{R}^3. Define-se o produto vetorial de \vec{x} com \vec{y}, \vec{x}\times\vec{y} através de:

\begin{array}{rl} \vec{x}\times\vec{y} &= \left|\begin{array}{ccc} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{array}\right| \\ \\ &=\hat{x}x_2y_3 + \hat{y}x_3y_1 + \hat{z} x_1y_2 - \left( \hat{z} x_2 y_1 + \hat{y} x_1 y_3 + \hat{x}x_3y_2\right) \\ \\ &=\hat{x}(x_2y_3 - x_3y_2) + \hat{y}(x_3y_1 - x_1y_3) + \hat{z}(x_1y_2 - x_2y_1) \end{array}

A Identidade de Lagrange

Para o caso dos vetores de \mathbb{R}^3 podemos reconhecer três tipos de “produtos”: O escalar \vec{x}\cdot\vec{y}, o vetorial \vec{x}\times\vec{y}, e o das normas \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|. Estes três produtos estão relacionados entre si através da identidade de Lagrange

\|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2- (\vec{x}\cdot\vec{y})^2

Demonstração da identidade de Lagrange

Sejam \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) e \vec{y}=(y_1,y_2,y_3) vetores de \mathbb{R}^3, então tem-se que:

\begin{array}{rl} \vec{x}\times\vec{y} &=(x_2y_3 - x_3y_2) \hat{x} + (x_3y_1 - x_1y_3)\hat{y} + (x_1y_2 - x_2y_1)\hat{z} \end{array}

De modo que:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 &=(x_2y_3 - x_3y_2)^2 + (x_3y_1 - x_1y_3)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2 \\ \\ &= \color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} + \cdots\\ \\ &\cdots + \color{blue}{x_3^2y_1^2 - 2x_3x_1y_1y_3 + x_1^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} \end{array}

Por outro lado:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\|^2 \|\vec{y}\|^2 - (\vec{x}\cdot\vec{y})^2 &= (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2+y_2^2 + y_3^2) - (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3 y_3)^2 \\ \\ \\ &= {x_1^2y_1^2} + \color{red}{x_1^2y_2^2} + \color{blue}{x_1^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{red}{x_2^2y_1^2} + {x_2^2y_2^2} + \color{green}{x_2^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots + \color{blue}{x_3^2y_1^2} + \color{green}{x_3^2y_2^2} + {x_3^2y_3^2} + \cdots \\ \\ &\cdots - \left[ {x_1^2y_1^2} + {x_2^2y_2^2} + {x_3^2y_3^2} + \right. \cdots \\ \\ &\cdots + 2\left(\color{red}{x_1x_2y_1y_2} + \color{blue}{x_1x_3y_1y_3} + \color{green}{x_2x_3y_2y_3} \right)\left.\right] \\ \\ \\ &= \color{red}{x_1^2y_2^2 - 2x_1x_2y_2y_1 + x_2^2y_1^2} + \cdots \\ \\ & \cdots + \color{blue}{x_1^2y_3^2 - 2x_1x_3y_3y_1 + x_3^2y_1^2} + \cdots \\ \\ & \cdots + \color{green}{x_2^2y_3^2 - 2x_2x_3y_3y_2 + x_3^2y_2^2} \end{array}

Finalmente, comparando as expressões em cores tem-se o que se queria demonstrar.

O Produto Vetorial e o ângulo entre vetores

Anteriormente vimos que existe uma estreita relação entre o ângulo sustentado por dois vetores e o resultado do produto escalar, isto é dado pela relação \vec{x}\cdot\vec{y} = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y})). Acontece que algo semelhante ocorre com o produto vetorial e é dado pela seguinte relação:

\|\vec{x}\times\vec{y}\| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\| \sin(\angle(\vec{x},\vec{y}))

Esta expressão é um resultado direto da identidade de Lagrange que se demonstrou acima, a demonstração fica mais ou menos assim:

\begin{array}{rl} \|\vec{x}\times\vec{y}\|^2 &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - (\vec{x}\cdot\vec{y})^2 \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - (\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y})))^2 \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 - \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2\cos^2(\angle(\vec{x},\vec{y})) \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 (1 - \cos^2(\angle(\vec{x},\vec{y}))) \\ \\ &= \|\vec{x}\|^2\|\vec{y}\|^2 \sin^2(\angle(\vec{x},\vec{y})) \end{array}

Finalmente, tomando raízes chegamos a:

\|\vec{x}\times\vec{y}\| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|\; |\sin(\angle(\vec{x},\vec{y}))|

Mas recordemos que \angle(\vec{x},\vec{y})\in[0,\pi], e nesse intervalo de valores a função seno é sempre não-negativa, de modo que podemos retirar o valor absoluto e chegamos ao que se queria demonstrar.

A partir desta expressão podemos intuir que o resultado da operação \|\vec{x}\times\vec{y}\| nos dá como resultado a área gerada pelos vetores \vec{x} e \vec{y}.