Experimentum Bernoulli et Distributio Binomialis

Summarium
In hac lectione conceptum experimentorum Bernoulli eiusque implicationes in theoria probabilitatum investigabimus. Incipimus cum definitione accurata experimentorum Bernoulli, deinde tractamus notionem independentiae inter eventus. His explanatis, theorema binomiale adhibetur ut intellegamus quomodo repetitio experimenti Bernoulli efficiat eventus cum distributione binomiali. Denique proponuntur exercitationes practicae ad hos conceptus applicandos atque confirmandos.

PROPOSITA DISCENDI:
Post hanc lectionem confectam, discipulus poterit:

Identificare notas praecipuas experimentorum Bernoulli, inter quas independentiam inter conatus.
Applicare recte notationem pro eventibus binomialibus ex experimentis Bernoulli derivatis.
Distingere inter varias formas independentiae (2-independentia, 3-independentia, n-independentia) earumque relationem atque usum in experimentis Bernoulli comprehendere.
Intellegere relationem inter experimentum Bernoulli et theorema binomiale, atque quomodo haec relatio adhiberi possit ad probabilitatem seriei successuum atque defectuum computandam.
Applicare distributionem binomialem (vel Bernoulli) ad probabilitatem certi numeri successuum in serie conatuum computandam.

INDEX CONTENTORUM:
Experimentum Bernoulli
Varie formae independentiae
Experimentum Bernoulli et theorema binomiale
Distributio binomialis (vel Bernoulli) et distributiones Probabilitatis
Exercitationes:

Experimentum Bernoulli

Experimentum Bernoulli est experimentum casu dichotomicum cum quadam probabilitate successus $p.$ Si experimentum Bernoulli $n$ vicibus identice ac independente repetitur, obtinentur eventus Bernoulli: Certus numerus $k$ successuum inter $n$ conatus. Hi etiam appellantur eventus binomiales eosque repraesentamus per notationem

$\Large \displaystyle Bi(n;k;p)$

Alia nota magni momenti experimentorum Bernoulli est quod omnes conatus inter se independentes sunt.

EXEMPLUM: Alea sex facierum saepius iactatur. Exempla eventuum generis Bernoulli pro hoc experimento sunt:

Obtinere 3 unitates inter 5 conatus: repraesentatum per $Bi(5;3;1/6)$
Obtinere 7 numeros pares inter 12 conatus: repraesentatum per $Bi(12;7;1/3)$

Varie formae independentiae

Independentia inter conatus explicatos in experimento Bernoulli non est prorsus eadem independentia quam iam consideravimus, sed agitur de versione multo restrictiore. Ad hanc differentiam explicandam species independentiae inter eventus inspiciamus

2-independentia

Independentia quam iam novimus est ea quae inter duos eventus datur. Hanc appellamus “2-independentiam”. His verbis dicimus eventus $A$ et $B$ esse 2-independentes si

$P(A\cap B) = P(A)P(B)$

3-independentia

Similiter, 3-independentia inter tres eventus $A,$ $B$ et $C$ definita est per relationem

$P(A\cap B\cap C) = P(A)P(B)P(C)$

Notandum est 2-independentiam inter $A,$ $B$ et $C$ non necessario implicare 3-independentiam, quamquam in casu contrario implicatio vera est.

n-independentia inter experimenta Bernoulli

Similiter ac definitionibus prioribus, n-independentia inter collectionem eventuum $A_1, \cdots, A_n$ definita est per relationem

$\Large \displaystyle P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n P(A_i)$

Et similiter habetur quod:

(n-1)

-independentia non necessario implicat

n

-independentiam

n

-independentia

\Longrightarrow

(n-1)

-independentia

Repetitiones $n$ factae in experimento Bernoulli sunt $n$ -independentes.

Experimentum Bernoulli et theorema binomiale

Consideremus experimentum successus et defectus cum probabilitate successus $p$ ; in unoquoque conatu erit, proinde, probabilitas $1-p$ defectus. Manifestum est probabilitatem ut successus aut defectus in unoquoque conatu accidat esse 1; et quoniam omnes conatus independentes sunt, probabilitas ut successus aut defectus in $n$ conatibus accidat erit $1^n.$ Ex hoc consequitur:

$\Large \displaystyle 1 = 1^n = [p + (1-p)]^n = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}$

In ultima aequalitate adhibitum est Theorema Binomiale Newtoni, et termini intra summationem hoc modo interpretari possunt:

$\displaystyle {{n}\choose{k}}$ : numerus modorum quibus $k$ successus fieri possunt dum $n$ conatus fiunt
$p^k$ : probabilitas ut $k$ successus independentes eveniant
$(1-p)^{n-k}$ : probabilitas ut $n-k$ defectus independentes eveniant

His elementis ita ut in summa apparent coniunctis obtinemus: probabilitatem obtinendi $k$ successus inter $n$ conatus; vel aequivalenter, probabilitatem obtinendi $n-k$ defectus inter $n$ conatus.

Si unumquodque terminum summae separamus, habemus probabilitates obtinendi:

$\displaystyle {{n}\choose{0}} p^0(1-p)^{n-0} = (1-p)^n$	0 successus inter n conatus
$\displaystyle {{n}\choose{1}} p^1(1-p)^{n-1} = n p(1-p)^{n-1}$	1 successus inter n conatus
$\displaystyle {{n}\choose{2}} p^2(1-p)^{n-2}$	2 successus inter n conatus
$\vdots$	$\vdots$
$\displaystyle {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}$	k successus inter n conatus
$\vdots$	$\vdots$
$\displaystyle {{n}\choose{n-1}} p^{n-1}(1-p)^{n-(n-1)} = n p^{n-1}(1-p)$	$n-1$ successus inter $n$ conatus
$\displaystyle {{n}\choose{n}} p^{n}(1-p)^{0} = p^{n}$	$n$ successus inter $n$ conatus

Et summa horum omnium, ut iam vidimus, est “1”. Ostendens omnes possibilitates esse comprehensas.

Ex hoc definitur probabilitas eventus Bernoulli:

$\displaystyle\Large \color{blue}{P(Bi(n;k;p)) = {{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}}$

Vel etiam dicimus numerum successuum $X$ distributionem binomialem habere:

$\color{blue}{\Large \displaystyle X\sim Bi(n;p) \longmapsto P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}$

Distributio binomialis (vel Bernoulli) et distributiones Probabilitatis

Per distributionem binomialem primum incipimus notiones habere distributionum probabilitatis et variabilis casus. Hoc in casu variabilis casus (discreta) ad numerum successuum refertur, et eius distributio probabilitatis datur per terminos theorematos binomialis

${\Large \displaystyle P(X=x) = {{n}\choose{x}}p^x(1-p)^{n-x}}$

Exercitationes:

Alea aequilibrata sex facierum 5 vicibus iacitur. Computetur probabilitas obtinendi 3 vicibus numerum parem ut eventum.
Nummus 10 vicibus iacitur. Computetur probabilitas obtinendi, ab 0 ad 10 capita, atque efficiatur graphice quae probabilitatem cuiusque eventus ostendat. Quomodo apparebit graphice si numerus iactuum augeatur et probabilitas obtinendi numerum capitum a 0 usque ad illum numerum iactuum consideretur? Folium in Excel hic utile esse potest.
Habetur urna cum quantitate $s$ pilularum, quarum $r$ sunt aureae et reliquae albae. Omnes miscentur et una fortuito extrahitur, vincitur cum aurea exit. Si hoc experimentum identice $20$ vicibus repetitur, aestimetur numerus victoriarum verisimillimus pro quolibet valore possibili $0\leq r\leq s.$ Folium in Excel hic quoque utile esse potest.