Technicae computandi et probabilitates

Combinatio, Variatio et Permutatio sunt technicae computandi maxime usitatae in studio probabilitatum propter commoditates quas introducunt in studio experimentorum cum eventibus aequiprobabilibus. Unum ex exemplis iconicis horum experimentorum provenit ex ludis aleae. Haec plerumque sunt processus non deterministici super spatium exemplare \Omega = \{\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_N\}. Haec experimenta communem qualitatem habent quod omnes eventus formae \{\omega_i\}\in\mathcal{A}_\Omega, cum i\in\{1,2,\cdots, n\}, eandem probabilitatem habent eveniendi.

Ex mensura probabilitatis ut limite frequentiarum relativarum possumus statuere probabilitatem eventus ut quotiens cardinalitatum. Ut iam vidimus, hoc fit per relationem:

P(E) = \displaystyle \lim_{N\to\infty}g_N(E) = \lim_{N\to\infty}\frac{f_N(E)}{N}= \frac{\# E}{\# \Omega}

Hic symbolum “#” refertur ad cardinalitatem collectionis. Hoc est quod notum est ut formula casuum favorabilium super casus possibiles.

In his condicionibus, calculus probabilitatum ad calculum cardinalitatis spatii exemplaris et eventus metiendi reducitur. Quam ob rem valde utile erit prius recensere quasdam technicas computandi.

Obtentio Technicarum Computandi

Ad introducendas combinationes, variationes et permutationes, concipiemus quaedam experimenta cum eventibus aequiprobabilibus, et ex his faciemus consequentias quae ad has technicas computandi ducunt.

Ponamus nos habere “machinam aleatoriam perfectam”, quae constat ex cista nigra, memoria, plectro actionis et altero plectro resectionis. Machina has proprietates habet:

1. Machina unam tantum habet configurationem personalizabilem: cardinalitatem sui spatii exemplaris \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}
2. Premendo plectrum actionis, ostendet in schemate unum ex elementis \Omega_N
3. Cum eventus ostenditur, is in memoria reponitur, et dum ibi manet non iterum ostendetur premendo plectrum actionis.
4. Si machina iam omnes eventus possibiles ostendit, se congelabit et nihil ostendet.
5. Plectrum resectionis delet memoriam et id quod in schemate ostenditur.

Hac machina concipiemus quaedam experimenta et eorum spatia exemplaria examinabimus.

Experimentum 1 (AORm): Agere – Notare ordine – ReseCare, iterare m vicibus

Machina configuratur cum \#\Omega = N et repetuntur m\leq N vicibus haec series graduum:

1. Premere plectrum actionis
2. Notare eventum in indice ordinato
3. Resecare

Cum perfecerimus, obtinebimus indicem ordinatum cum m elementis \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}. Hic index potest interpretari ut m-tupla \Omega_N. Aliis verbis, spatium exemplare huius experimenti \Omega_{AORm} erit huius formae

\Omega_{AORm}=\Omega_N \times \cdots \times \Omega_N = \Omega_N^m

Itaque habebitur \#\Omega_{AORm}=\#\Omega_N^m = N^m.

Experimentum 2 (AOk): Agere – Notare ordine, iterare k vicibus

Iterum machinam configuramus cum \#\Omega = N et repetitur k vicibus (k\leq N) haec series graduum:

1. Premere plectrum actionis.
2. Notare eventum in indice ordinato.

Cum perfecerimus, habebimus indicem ordinatum k elementorum \Omega_N = \{\omega_1,\cdots,\omega_N\}, sed nullum elementum iterabitur cum aliquo ex iis quae praecesserunt.

Cum machina, principio, nullum eventum possibile alteri praeferat (quia perfecte aleatoria est), licet sine iactura generalitatis assumere quod, cum primum actum est, eventus \{\omega_1\} evenit, ita spatium exemplare actionis sequentis erit \Omega_N\setminus\{\omega_1\}. Similiter, licet assumere sine iactura generalitatis quod, cum secundo actum est, evenit eventus \{\omega_2\}; ergo spatium exemplare actionis sequentis erit huius formae (\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}. Si hoc modo procedamus, cum ad actionem k-essimam pervenerimus, haec habebit spatium exemplare huius formae

(\cdots(\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}\cdots)\setminus\{\omega_{k-1}\}

Ita spatium exemplare eventuum possibilium huius experimenti erit huius formae

\Omega_{AOk}= \Omega \times (\Omega_N\setminus\{\omega_1\}) \times ((\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}) \times \cdots \times ((\cdots(\Omega_N\setminus\{\omega_1\})\setminus\{\omega_2\}\cdots)\setminus\{\omega_{k-1}\})

Quare si cardinalitatem huius collectionis computemus, obtinebimus

\#\Omega_{AOk}= N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots [N-(k-1)]=\displaystyle \frac{N!}{(N-k)!}

Ex hoc effectu nascitur haec definitio:

Experimentum 3 (ADk): Agere – Notare sine ordine, iterare k vicibus

Hoc experimentum prorsus idem est ac prius, nisi quod nunc non registratur ordo quo elementa \Omega_N apparent. Id est, quae essent duae k-tuplae cum eisdem elementis sed in diverso ordine, nunc pro eadem re habentur. Ita, cum unaquaeque k-tupla ex experimento AOk obtenta scribi possit (k)_k=k! modis diversis, habebitur cardinalitas spatii exemplaris huius experimenti huius formae

\#\Omega_{ADk} = \displaystyle \frac{\#\Omega_{AOk}}{(k)_k} = \frac{(N)_k}{k!} = \frac{N!}{k!(N-k)!}

Ex hoc constitui potest haec definitio:

Technicis computandi permutationis, variationis et combinationis nunc magnitudinem multarum collectionum variarum metiri poterimus.