समाकरण का सीमा के रूप में अवकलज

सारांश:
इस कक्षा में, हम अवकलज की अवधारणा का अध्ययन करेंगे, जो कार्यों में परिवर्तन का विश्लेषण करने के लिए एक गणितीय उपकरण है। हम एक सीकेंट रेखा की ढलान से शुरू करेंगे और जब बिंदु समीप आएंगे, तो हम सीमा लेते हुए इसे परिभाषित करेंगे। इसके अलावा, हम इसकी मुख्य विशेषताओं और नियमों का अध्ययन करेंगे, जैसे योग, गुणा, और भाग के नियम, जो कार्यों और परिवर्तन की घटनाओं के विश्लेषण में अवकलज को लागू करने के लिए आवश्यक हैं।

अध्ययन के उद्देश्य
इस कक्षा के अंत में, छात्र निम्नलिखित करने में सक्षम होंगे:

1. समझना: अवकलज को एक सीमा के रूप में जो एक कार्य में तात्कालिक परिवर्तन का वर्णन करता है और एक वक्र पर एक बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढलान के रूप में।
2. समझाना: कि अवकलनीयता कार्यों में सततता को कैसे प्रभावित करती है।
3. प्रदर्शित करना: औपचारिक परिभाषा से अवकलन के मूलभूत नियम।
4. उपयोग करना: अवकलज के बीजगणितीय गुण (योग, गुणा, भाग) का गणितीय समस्याओं में।

विषयवस्तु सूचकांक:
अवकलज की अवधारणा
सीकेंट रेखा की ढलान
सीमा के पास जाना: अवकलज और स्पर्श रेखा की ढलान
वैकल्पिक परिभाषा
अवकलज की विशेषताएँ
अवकलनीयता से सततता का संकेत मिलता है
अवकलज का बीजगणित

अवकलज की अवधारणा

प्रकृति सामान्यतः परिवर्तनशील होती है, और परिवर्तन की गणना और समझ के लिए मुख्य गणितीय उपकरण अवकलज है। यह प्रश्न करने से उत्पन्न होता है, “जब चर x को एक बहुत छोटी मात्रा \Delta x से बढ़ाया या घटाया जाता है, तो कार्य f(x) का मान क्या होगा?”। इस प्रश्न का विश्लेषण करते हुए कार्य की सीमा के रूप में अवकलज की अवधारणा उभरती है।

सीकेंट रेखा की ढलान

मान लें एक कार्य f(x) को दो बिंदुओं x_0 और x_0 + \Delta x पर। कोई भी रेखा जो वक्र के दो बिंदुओं को काटती है, “सीकेंट रेखा” कहलाती है, और यह चित्र में दिखती है।

इस विशेष सीकेंट रेखा की ढलान होती है:

\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

सीमा के पास जाना: अवकलज और स्पर्श रेखा की ढलान

यदि हम वक्र y=f(x) की सीकेंट रेखा को देखें, जो x_0 और x_0 + \Delta x से गुजरती है, और फिर सीमा लें जब \Delta x शून्य की ओर जाता है, तो हमें वक्र पर (x_0, f(x_0)) बिंदु से गुजरने वाली स्पर्श रेखा मिलती है।

इससे हमें कार्य f(x) के किसी बिंदु x_0 पर अवकलज की औपचारिक परिभाषा मिलती है, जो इस प्रकार है:

\displaystyle \dfrac{df(x_0)}{dx}:= \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

यह परिभाषा x_0 पर वक्र के स्पर्श रेखा की ढलान का प्रतिनिधित्व करती है।

वैकल्पिक परिभाषा

अवकलज की परिभाषा को प्रस्तुत करने का एक वैकल्पिक तरीका निम्नलिखित प्रतिस्थापन से प्राप्त होता है:

\begin{array}{rl} x_i &= x_0\\ x_f &= x_i + \Delta x \end{array}

इससे हमें \Delta x = x_f - x_i प्राप्त होता है, और अवकलज की परिभाषा इस रूप में हो जाती है:

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{df(x_i)}{dx} &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_i + \Delta x) - f(x_i)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f - x_i \to 0} \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f \to x_i } \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i} \end{array}

दोनों परिभाषाएँ समान हैं और सुविधा के अनुसार इनमें से किसी का भी उपयोग किया जा सकता है।

अवकलज की विशेषताएँ

कहा जाता है कि कोई कार्य x_0 पर अवकलनीय है, जब निम्नलिखित सीमा मौजूद हो:

\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

और हम कहेंगे कि यह किसी सेट I में अवकलनीय है, यदि सीमा x_0 \in I के लिए परिभाषित हो। अवकलनीय कार्यों में निम्नलिखित विशेषताएँ होती हैं:

अवकलनीयता सततता को इंगित करती है

यदि कोई कार्य x_0 पर अवकलनीय है, तो वह x_0 पर सतत होता है। इसे निम्नलिखित तर्क से सिद्ध किया जा सकता है:

किसी कार्य f(x) के x_0 पर सतत होने के लिए यह आवश्यक है:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)

यदि हम इस अभिव्यक्ति के बाएँ भाग की जांच करें, तो हमें मिलता है:

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ f(x) + f(x_0) - f(x_0) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( f(x) - f(x_0) \right) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ &=f(x_0) +\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ \end{array}

इससे हम पाते हैं कि, f(x) के x_0 पर सतत होने के लिए आवश्यक है कि दाएँ भाग की सीमा परिभाषित हो। यह तभी संभव है, जब:

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} =\dfrac{df(x_0)}{dx}

दूसरे शब्दों में, यदि f(x) x_0 पर अवकलनीय है। अतः यदि f(x) x_0 पर अवकलनीय है, तो यह उस बिंदु पर सतत होगा।

अवकलज का बीजगणित

यदि f और g I में सभी x के लिए अवकलनीय हैं, और \alpha,\beta \in \mathbb{R}, तो निम्नलिखित सत्य होगा:

1. \dfrac{d}{dx} \left( \alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta\dfrac{dg(x)}{dx}
2. \dfrac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = \dfrac{df(x)}{dx}g(x) + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx}
3. यदि g(x) \neq 0, तो \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x)\dfrac{dg(x)}{dx}}{\left[g(x)\right]^2}

जैसा कि हम देख सकते हैं, अवकलज का बीजगणित पहले पहल जितना सहज प्रतीत होता है, उतना सरल नहीं है; हालाँकि, इन गुणों का प्रमाण औपचारिक परिभाषा से अधिक कठिनाई के बिना निकाला जा सकता है।

सिद्धांत:

संचयन के अवकलज का सिद्धांत निम्नलिखित तर्क का पालन करके किया जाता है:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) & =\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\left[\alpha f(x+\Delta x) \pm \beta g(x+ \Delta x)\right] - \left[\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \left[\alpha f(x+\Delta x) - \alpha f(x)\right] \pm \left[\beta g(x+\Delta x) - \beta g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \alpha \left[ f(x+\Delta x) - f(x)\right] \pm \beta \left[ g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \alpha \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \beta \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta \dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

गुणा के अवकलज का सिद्धांत थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन समझने योग्य है:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) + \color{red}f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x) \color{black} - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\left[f(x+\Delta x) - f(x) \right] g(x+\Delta x) + f(x) \left[g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &= g(x) \dfrac{df(x)}{dx} + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

यहाँ g को सतत मानकर \lim_{\Delta x\to 0 } g(x+\Delta x) = g(x) का उपयोग किया गया है और फिर सीमाओं का बीजगणित का उपयोग करके सिद्धांत को सिद्ध किया गया।

अंत में, भाग के अवकलज का सिद्धांत गुणा के परिणाम का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। मान लें k(x) = f(x)/g(x), जहाँ g(x)\neq 0। इसके परिणामस्वरूप:

\dfrac{df(x)}{dx}= \dfrac{d}{dx}(k(x)g(x)) = \dfrac{dk(x)}{dx}g(x) + k(x)\dfrac{dg(x)}{dx}

अब \dfrac{dk(x)}{dx} को हल करें:

\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) = \dfrac{df(x)}{dx} - k(x)\dfrac{dg(x)}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x) - \dfrac{f(x)}{g(x)}\dfrac{dg(x)}{dx}

और इस प्रकार:

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &= \dfrac{dk(x)}{dx} =\dfrac{1}{g(x)} \dfrac{df(x)}{dx} - \dfrac{f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\dfrac{dg(x)}{dx} \\ \\ & = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2} \end{array}

यह वही है जिसे सिद्ध करना था।