Un Modèle Simple du Marché :
Notions et Hypothèses Élémentaires

Résumé :
Cette classe introduit le « Modèle Simple du Marché », une approche qui facilite l’apprentissage des concepts clés de l’investissement, en combinant des actifs sans risque (obligations, avec rendement connu) et des actifs risqués (actions, avec rendement incertain). Nous verrons comment ces actifs peuvent être combinés dans un portefeuille qui, correctement géré, permet d’obtenir des rendements supérieurs aux intérêts bancaires, en équilibrant croissance et sécurité. En outre, nous apprendrons à calculer le rendement de ces actifs dans une ligne de temps simplifiée (présent et futur) et analyserons les hypothèses du marché telles que l’aléatoire des prix et la solvabilité, afin de prendre des décisions informées sur l’investissement et le risque.

Objectifs d’Apprentissage :
À la fin de cette classe, l’étudiant sera capable de :

• Identifier les caractéristiques d’un Modèle Simple du Marché, des actifs risqués et sans risque dans la prise de décisions d’investissement.
• Comprendre la différence entre actifs risqués et sans risque, en identifiant comment chacun affecte le rendement et le risque dans un portefeuille.
• Appliquer des formules pour calculer le rendement des investissements dans des actifs risqués et sans risque, en utilisant les prix initiaux et finaux.
• Analyser la construction de portefeuilles combinant actifs risqués et sans risque pour optimiser le rendement tout en gérant le risque dans un modèle simple du marché.
• Évaluer l’impact des scénarios de marché sur la valeur et le rendement d’un portefeuille, en tenant compte des variations de prix des actifs.
• Appliquer les probabilités pour calculer le rendement attendu dans des situations de marché incertaines, en déterminant les résultats financiers possibles.

TABLE DES MATIÈRES
Introduction
Définitions et Hypothèses Théoriques
Actifs Risqués et Actifs Sans Risque
Échelle de Temps dans le Modèle
Rendement d’un Investissement
Construction et Évaluation d’un Portefeuille
Hypothèses de Base du Modèle
Problèmes Résolus
Exercices Proposés

Introduction

Imaginez que vous venez de recevoir une prime au travail et que vous avez économisé une somme considérable à la banque. Cependant, en observant les taux d’intérêt actuels et l’impact de l’inflation, vous craignez que le pouvoir d’achat de vos économies diminue avec le temps. Vous souhaitez non seulement conserver votre argent, mais aussi le faire croître.

Vous avez entendu dire qu’investir dans des actions et des obligations peut être une bonne façon de faire fructifier votre argent. Vous savez que certains actifs, comme les obligations, sont sûrs, tandis que d’autres, comme les actions, offrent des rendements plus élevés mais comportent plus de risques. Vous vous demandez s’il est possible de combiner ces deux types d’actifs dans une stratégie qui vous permettrait de gagner plus que les intérêts bancaires, sans prendre un risque excessif.

Vous décidez de vous renseigner et découvrez une approche appelée « Modèle Simple du Marché », qui facilite l’apprentissage des notions de base des actifs risqués et sans risque, des rendements et de la construction de portefeuilles. Ce modèle est idéal pour les débutants, car il simplifie l’analyse financière en se concentrant sur deux points dans le temps : le présent et un moment futur.

Avec cette motivation, vous décidez d’en apprendre davantage sur la façon de calculer le rendement d’un investissement et de construire un portefeuille qui maximise vos rendements. Au fil de cette exploration, nous approfondirons ces concepts afin que vous puissiez prendre des décisions éclairées et mieux gérer vos finances personnelles.

Maintenant que vous êtes prêt, plongeons dans les connaissances théoriques nécessaires pour comprendre ce modèle de marché et l’appliquer à vos propres décisions d’investissement.

Définitions et Hypothèses Théoriques

Actifs Risqués et Actifs Sans Risque

Pour commencer à comprendre le modèle simple du marché, il est nécessaire de se familiariser avec les concepts d’actifs risqués et d’actifs sans risque. Ces deux types d’actifs constituent la base de la plupart des stratégies d’investissement.

Un actif sans risque est un type d’investissement dont le rendement est connu et garanti. Un exemple classique d’actif sans risque est une obligation émise par un gouvernement ou une institution financière stable, qui garantit un paiement d’intérêt fixe à la fin d’une période. Ces obligations peuvent être comparées à des dépôts dans un compte bancaire ou à des instruments de dette offrant un rendement prévisible et stable.

En revanche, un actif risqué est celui dont le prix futur est incertain et peut varier, à la hausse comme à la baisse. Un exemple commun d’actif risqué est une action d’entreprise cotée en bourse. Les actions peuvent être volatiles, et leur prix dépend de multiples facteurs, ce qui rend leur valeur future imprévisible.

Échelle de Temps dans le Modèle

Dans le modèle simple du marché, l’analyse est limitée à deux instants dans le temps : le présent, que nous appelons t = 0 , et un moment futur, comme un an plus tard, que nous appelons t = 1 . Cette approche simplifiée permet d’analyser les variations de la valeur des actifs sans introduire une complexité excessive.

Ce modèle à deux points dans le temps est particulièrement utile pour les débutants, car il facilite la compréhension des variations des prix des actifs dans le temps et de leur impact sur la valeur d’un portefeuille.

Rendement d’un Investissement

Le rendement est une mesure de la valeur gagnée ou perdue par un investissement sur une période donnée. Selon le type d’actif, le calcul du rendement peut être incertain ou déterminé.

Pour un actif risqué, comme une action, le rendement est incertain et se calcule à l’aide du prix initial et du prix futur de l’actif. Si le prix de l’action au moment t est représenté par S(t) , le rendement de l’action entre t = 0 et t = 1 est calculé comme suit :

K_S = \dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)}

Ce rendement, représenté par K_S , est une fraction de la valeur initiale de l’action et peut être positif (si le prix de l’action a augmenté), négatif (s’il a baissé) ou nul (si le prix n’a pas changé).

Pour un actif sans risque, comme une obligation, le rendement est connu avec certitude à l’avance. Si le prix d’une obligation au moment t est représenté par A(t) , le rendement de cette obligation entre t = 0 et t = 1 est calculé comme suit :

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)}

Ce rendement, K_A , est fixe et garanti par l’émetteur de l’obligation. La principale différence entre K_S et K_A réside dans la certitude : tandis que le rendement d’une action est incertain, celui d’une obligation est fixe et connu.

Construction et Évaluation d’un Portefeuille

Maintenant que nous comprenons le concept de rendement, nous pouvons combiner des actifs risqués et sans risque pour former un portefeuille. Supposons que vous décidez de construire un portefeuille contenant x actions et y obligations. La valeur totale du portefeuille à tout moment t est :

V(t) = xS(t) + yA(t)

Ici, V(t) représente la valeur totale du portefeuille, qui est la somme de la valeur des actions ( xS(t) ) et de la valeur des obligations ( yA(t) ).

Au moment initial ( t = 0 ), la valeur du portefeuille est connue si nous connaissons le nombre d’actions et d’obligations et leurs prix respectifs. Cependant, au moment t = 1 , la valeur des actions peut varier, ce qui rend la valeur du portefeuille incertaine.

Hypothèses de Base du Modèle

Pour simplifier le modèle, nous établissons certaines hypothèses clés qui nous permettent de réaliser les calculs et l’analyse de manière plus gérable :

• Hypothèse d’Aléa: Le prix futur d’une action ( S(1) ) est une variable aléatoire, ce qui signifie qu’il peut prendre différentes valeurs en fonction de facteurs imprévisibles du marché.
• Positivité des Prix: Tous les prix des actions et des obligations sont strictement positifs, c’est-à-dire S(t) > 0 et A(t) > 0 pour t = 0, 1 . Cette hypothèse garantit que les valeurs des actifs sont réalistes.
• Divisibilité, Liquidité: Les actifs peuvent être achetés en quantités fractionnaires, permettant aux investisseurs d’ajuster leurs portefeuilles sans restrictions. En outre, il est supposé que les actifs peuvent être achetés ou vendus en toute quantité.
• Solvabilité: La richesse totale d’un investisseur doit être non négative à tout moment, c’est-à-dire V(t) \geq 0 . Cela signifie qu’il n’est pas possible de perdre plus que ce qui a été investi.
• Prix Discrets: Le prix futur S(1) d’une action est une variable aléatoire qui ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs possibles. Cela facilite l’analyse et la modélisation du marché.

Avec ces hypothèses, le modèle devient plus facile à manipuler, nous permettant d’analyser les rendements et les valeurs des portefeuilles sans complexité supplémentaire.

Jusqu’à présent, nous avons couvert les concepts théoriques fondamentaux pour comprendre le modèle simple du marché. Dans la section suivante, nous appliquerons ces connaissances à des exercices pratiques pour voir comment calculer la valeur et le rendement d’un portefeuille dans différents scénarios.

Problèmes Résolus

Exercice 1 : Calcul du Rendement des Obligations (Actif Sans Risque)

Supposons que vous possédez une obligation dont le prix initial est A(0) = 100 dollars. À la fin d’une année, la valeur de l’obligation a augmenté à A(1) = 110 dollars.

Question : Quel est le rendement de cet investissement en obligations ?

Solution : Étant donné que l’obligation est un actif sans risque, le rendement est certain et peut être calculé à l’aide de la formule du rendement pour les actifs sans risque :

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)}

En remplaçant les valeurs :

K_A = \dfrac{110 - 100}{100} = \dfrac{10}{100} = 0.10

Le rendement est de 10 %.

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Exercice 2 : Calcul du Rendement des Actions (Actif Risqué)

Supposons que vous achetez une action au prix de S(0) = 50 dollars. À la fin de l’année, le prix de l’action peut varier. Deux résultats sont possibles :

• Si le marché monte, le prix de l’action sera S(1) = 52 dollars, avec une probabilité de p .
• Si le marché descend, le prix de l’action sera S(1) = 48 dollars, avec une probabilité de 1 - p .

Question : Dans un modèle simple de marché, quel est le rendement de cet investissement dans chaque scénario ?

Solution : Le rendement d’une action, étant un actif risqué, est incertain et se calcule à l’aide de la formule du rendement pour les actifs risqués :

K_S = \dfrac{S(1) - S(0)}{S(0)}

Nous calculons le rendement dans chaque scénario :

• Si le prix monte à 52 dollars :

K_S = \dfrac{52 - 50}{50} = \dfrac{2}{50} = 0.04

Le rendement dans ce cas est de 4 %.

• Si le prix descend à 48 dollars :

K_S = \dfrac{48 - 50}{50} = \dfrac{-2}{50} = -0.04

Le rendement dans ce cas est de -4 %.

En conséquence, selon le comportement du marché, le rendement peut être positif (4 %) ou négatif (-4 %).

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Exercice 3 : Valeur d’un Portefeuille avec Actifs Risqués et Sans Risque

Supposons que vous décidez de construire un portefeuille contenant 20 actions et 10 obligations. Nous savons que :

• Le prix d’une action au début est S(0) = 50 dollars.
• Le prix d’une obligation au début est A(0) = 100 dollars.

Question : Quelle est la valeur de ce portefeuille au moment initial t = 0 ?

Solution : La valeur d’un portefeuille au moment t se calcule comme suit :

V(t) = xS(t) + yA(t)

Où x est le nombre d’actions et y est le nombre d’obligations.

En remplaçant les valeurs :

V(0) = (20)(50) + (10)(100)

V(0) = 1000 + 1000 = 2000

La valeur du portefeuille au moment initial t = 0 est de 2000 dollars.

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Exercice 4 : Calcul du Rendement d’un Portefeuille Mixte

Supposons que le prix des actifs dans le portefeuille de l’Exercice 3 varie au moment t = 1 comme suit :

• Si le marché monte, le prix de l’action sera S(1) = 52 et celui de l’obligation sera A(1) = 110 .
• Si le marché descend, le prix de l’action sera S(1) = 48 et celui de l’obligation sera A(1) = 110 .

Question : Dans un modèle simple de marché, quelle est la valeur et le rendement du portefeuille dans chaque scénario ?

Solution :

Scénario 1 : Le marché monte

V(1) = (20)(52) + (10)(110)

V(1) = 1040 + 1100 = 2140

La valeur du portefeuille dans ce cas est de 2140 dollars.

Le rendement du portefeuille est :

K_V = \dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \dfrac{2140 - 2000}{2000} = \dfrac{140}{2000} = 0.07

Le rendement est de 7 %.

Scénario 2 : Le marché descend

V(1) = (20)(48) + (10)(110)

V(1) = 960 + 1100 = 2060

La valeur du portefeuille dans ce cas est de 2060 dollars.

Le rendement du portefeuille est :

K_V = \dfrac{V(1) - V(0)}{V(0)} = \dfrac{2060 - 2000}{2000} = \dfrac{60}{2000} = 0.03

Le rendement est de 3 %.

En résumé, le rendement du portefeuille dépend du comportement du marché. Si le marché monte, le rendement est de 7 % ; si le marché descend, le rendement est de 3 %.

Exercice 5 : Calcul du Rendement Pondéré dans un Portefeuille Mixte

Supposons que vous décidez de construire un portefeuille mixte avec la distribution initiale suivante :

• 50 % de votre investissement est placé dans des obligations sans risque, avec un prix initial de A(0) = 100 et un prix à la fin de l’année de A(1) = 105 .
• 50 % de votre investissement est placé dans des actions risquées, avec un prix initial de S(0) = 50 . Le prix de l’action à t = 1 pourrait être S(1) = 55 si le marché monte (probabilité de 0,7) ou S(1) = 45 si le marché descend (probabilité de 0,3).

Question : Quel est le rendement total attendu du portefeuille en tenant compte des probabilités que le marché monte ou descende ?

Solution :

1. Tout d’abord, calculons le rendement de chaque type d’actif :

• Pour les obligations sans risque :

K_A = \dfrac{A(1) - A(0)}{A(0)} = \dfrac{105 - 100}{100} = 0.05 (5 %)

• Pour les actions dans chaque scénario :
• Si le marché monte :

K_S^{\text{up}} = \dfrac{55 - 50}{50} = 0.10 (10 %)

• Si le marché descend :

K_S^{\text{down}} = \dfrac{45 - 50}{50} = -0.10 (-10 %)

2. Calculons le rendement attendu des actions en tenant compte des probabilités :

\text{Rendement attendu des actions} = (0.7 \times 0.10) + (0.3 \times -0.10) = 0.04 (4 %)

3. Maintenant, calculons le rendement pondéré du portefeuille, sachant que 50 % est investi dans des obligations et 50 % dans des actions :

K_{\text{portefeuille}} = (0.5 \times 0.05) + (0.5 \times 0.04) = 0.045 (4,5 %)

Réponse : Le rendement total attendu du portefeuille est de 4,5 %.

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Exercice 6 : Évaluation du Risque et du Rendement d’un Portefeuille avec Vente à Découvert dans un Modèle Simple du Marché

Supposons que vous avez une stratégie où vous investissez 2000 dollars dans des obligations sans risque, avec un rendement garanti de 3 % à la fin de l’année. En outre, vous empruntez 1000 dollars pour vendre à découvert des actions dans le but que leur prix baisse afin de réaliser un gain. Actuellement, les actions ont un prix de S(0) = 50 dollars par action, et à la fin de l’année, le prix peut être :

• S(1) = 40 dollars si le marché descend (probabilité de 0,6)
• S(1) = 60 dollars si le marché monte (probabilité de 0,4)

Question : Quel est le rendement attendu du portefeuille et quel est le risque associé à la vente à découvert, mesuré par l’écart-type des rendements ?

Solution :

Calcul du rendement attendu

Tout d’abord, calculons le rendement des obligations sans risque :

K_A = 0.03 (3 %)

Pour la vente à découvert, calculons le gain ou la perte dans chaque scénario :

• Si le marché descend :

La vente à découvert a été réalisée à 50 dollars par action, et le prix à la fin de l’année est de 40 dollars. Le gain par action est :

50 - 40 = 10 dollars

Si vous avez emprunté 1000 dollars, cela équivaut à vendre à découvert \dfrac{1000}{50} = 20 actions. Le gain total est :

20 \times 10 = 200 dollars

• Si le marché monte :

La vente à découvert a été réalisée à 50 dollars par action, et le prix à la fin de l’année est de 60 dollars. La perte par action est :

50 - 60 = -10 dollars

Pour 20 actions, la perte totale est :

20 \times -10 = -200 dollars

Calculons le rendement attendu de la vente à découvert :

\text{Rendement attendu de la vente à découvert} = (0.6 \times 200) + (0.4 \times -200) = 120 - 80 = 40 dollars

Calcul de la variance et de l’écart-type pour mesurer le risque

Pour mesurer le risque dans un modèle simple du marché, calculons la variance des rendements de la vente à découvert. La formule de la variance, en fonction des résultats possibles et de leurs probabilités, est :

\text{Variance} = (0.6) \times (200 - 40)^2 + (0.4) \times (-200 - 40)^2 = 38400

Enfin, calculons l’écart-type comme la racine carrée de la variance :

\text{Écart-type} = \sqrt{38400} \approx 196

Interprétation de l’Écart-Type dans le Contexte de la Distribution Normale

L’écart-type est une mesure de la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Dans le contexte d’une distribution normale, il joue un rôle important dans la compréhension du risque et de la probabilité de certains rendements.

Relation entre l’Écart-Type et la Distribution Normale

La distribution normale (ou courbe de Gauss) est une distribution de probabilité symétrique autour de sa moyenne, où la majorité des valeurs se concentre près de la moyenne. De nombreux rendements financiers, comme ceux des portefeuilles bien diversifiés, tendent à suivre une distribution normale.

Dans une distribution normale :

• Environ 68 % des valeurs se trouvent dans un écart-type de la moyenne.
• Environ 95 % des valeurs se trouvent dans deux écarts-types de la moyenne.
• Environ 99,7 % des valeurs se trouvent dans trois écarts-types de la moyenne.

Interprétation dans le Contexte des Risques et des Rendements Financiers

Si nous supposons que les rendements de la vente à découvert suivent une distribution approximativement normale, l’écart-type de 196 dollars nous permet d’estimer la probabilité d’obtenir certains rendements autour de la moyenne attendue. Par exemple:

• Avec un écart-type de 196 dollars et un rendement attendu de 40 dollars, nous pouvons dire que 68 % des résultats se situeront dans la plage 40 \pm 196 dollars (soit entre -156 et 236 dollars).
• Pour évaluer des risques extrêmes, nous pourrions analyser des résultats à deux ou trois écarts-types de la moyenne. Dans une distribution normale, les événements à deux écarts-types ou plus de la moyenne sont moins probables (5 % ou moins), mais peuvent avoir un impact significatif sur le portefeuille.

Limitations dans le Contexte de la Vente à Découvert

Il est important de noter que dans la vente à découvert, les rendements peuvent ne pas suivre une distribution parfaitement normale en raison de l’asymétrie de la stratégie : le prix d’une action peut monter indéfiniment, générant des pertes illimitées, mais il ne peut pas descendre en dessous de zéro. Cela introduit un biais dans la distribution, rendant les risques de pertes extrêmes plus probables que ce qu’une distribution normale pourrait suggérer.

Exercices Proposés

Exercice 1 : Calcul du Rendement d’une Obligation

Supposons que vous achetez une obligation sans risque à un prix initial de A(0) = 200 dollars, et qu’à la fin de l’année, le prix de l’obligation augmente à A(1) = 220 dollars.

Question : Quel est le rendement de cet investissement en obligations ?

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Exercice 2 : Rendement d’une Action Risquée avec Scénarios Probabilistes

Vous achetez une action à un prix initial de S(0) = 100 dollars. À la fin de l’année, le prix de l’action peut être S(1) = 110 avec une probabilité de 0,5, ou S(1) = 90 avec une probabilité de 0,5.

Question : Calculez le rendement dans chaque scénario ainsi que le rendement attendu de cet investissement dans l’action.

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Exercice 3 : Valeur d’un Portefeuille Mixte

Vous construisez un portefeuille avec 15 actions et 5 obligations. Au début, le prix de chaque action est S(0) = 30 dollars, et le prix de chaque obligation est A(0) = 100 dollars.

Question : Quelle est la valeur totale de votre portefeuille au moment t = 0 ?

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Exercice 4 : Rendement du Portefeuille dans Différents Scénarios de Marché

Pour le portefeuille de l’exercice précédent, à la fin de l’année, le prix de l’action peut être S(1) = 35 si le marché monte, ou S(1) = 25 si le marché descend. L’obligation sans risque aura un prix de A(1) = 105 dans les deux cas.

Question : Calculez la valeur et le rendement du portefeuille dans chaque scénario de marché.

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Exercice 5 : Impact des Changements de Prix des Actions sur le Portefeuille

Supposons que vous avez un portefeuille composé de 10 obligations et 40 actions. Le prix de chaque obligation est A(0) = 90 dollars, et celui de chaque action est S(0) = 20 dollars au début. À la fin de l’année, le prix de l’action augmente à S(1) = 30 et celui de l’obligation à A(1) = 95 .

Question : Calculez la valeur initiale et finale du portefeuille, et déterminez le rendement du portefeuille.

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Exercice 6 : Calcul du Rendement Pondéré dans un Portefeuille Diversifié

Vous investissez 60 % de votre portefeuille dans des obligations sans risque et 40 % dans des actions. Le prix initial des obligations est A(0) = 200 dollars, et leur prix final est A(1) = 210 dollars. Le prix initial des actions est S(0) = 50 et leur prix final dépend du marché : S(1) = 55 si le marché monte (probabilité de 0,6) ou S(1) = 45 si le marché descend (probabilité de 0,4).

Question : Calculez le rendement total attendu du portefeuille.

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Exercice 7 : Évaluation du Risque par l’Écart-Type

Dans une stratégie de vente à découvert, vous empruntez 500 dollars pour vendre à découvert des actions dont le prix initial est S(0) = 25 dollars. À la fin de l’année, le prix des actions peut être S(1) = 20 (probabilité de 0,7) ou S(1) = 30 (probabilité de 0,3).

Question : Calculez le rendement attendu et l’écart-type de cet investissement dans la vente à découvert.

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Exercice 8 : Création d’un Portefeuille Garantissant un Rendement Spécifique

Vous disposez de 2000 dollars et souhaitez constituer un portefeuille composé d’obligations sans risque ( A(0) = 100 dollars, avec un rendement de 5 %) et d’actions ( S(0) = 50 dollars) dont le rendement attendu est de 8 %.

Question : Combien d’obligations et d’actions devez-vous acheter pour que le rendement total attendu du portefeuille soit de 6 % ?

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Exercice 9 : Analyse de l’Impact de la Diversification dans le Portefeuille

Vous investissez 3000 dollars dans un portefeuille composé d’obligations et d’actions. La moitié de votre investissement est placée dans des obligations ( A(0) = 150 dollars, avec un rendement garanti de 4 %) et l’autre moitié dans des actions ( S(0) = 75 dollars), dont le prix à t = 1 peut être de 90 (probabilité de 0,5) ou 60 (probabilité de 0,5).

Question : Calculez le rendement attendu et l’écart-type du portefeuille.

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Exercice 10 : Effet des Changements de Prix sur le Portefeuille et la Solvabilité

Vous construisez un portefeuille avec 1000 dollars, en investissant 300 dollars dans des obligations et 700 dollars dans des actions. Pour les obligations, le rendement est fixe à 3 %, tandis que le prix des actions ( S(0) = 35 ) peut baisser à 25 ou monter à 45 avec des probabilités égales.

Question : Quelle est la valeur du portefeuille dans chaque scénario de marché ? Évaluez si le portefeuille respecte l’hypothèse de solvabilité ( V(t) \geq 0 ).