渐近线、极限与图形表示技术
摘要：
在本节课中，我们讨论了函数分析中的渐近线和主导项的概念。我们探索了描述函数在 x 趋向无穷大时行为的水平渐近线；当 x 接近某些值时指示无限极限的垂直渐近线；以及在分子次数高于分母次数时与函数相关的斜渐近线。此外，我们还分析了一个函数的主导项，它在 x 取大值或接近某些点时提供了近似。
学习目标
完成本课后，学生应能够：
- 理解水平渐近线的概念及其在分析函数趋向无穷大时的应用。
- 识别垂直渐近线存在的条件，并将其应用于研究函数在 x 接近某些值时的无限极限。
- 分析在分子次数高于分母次数时，分式函数中的斜渐近线。
- 应用主导项的概念，以近似函数在 x 取大值或接近某些点时的行为。
- 解释渐近线和主导项分析如何有助于理解函数的整体行为。
内容目录：
介绍
水平渐近线与无穷极限
垂直渐近线与无限极限
斜渐近线、曲线和主导项
解答练习
练习题
介绍
我们已经复习的极限 使我们能够定义一些有助于理解函数整体行为的概念，这些概念包括主导项以及水平和垂直渐近线。这些是函数图像趋向于靠近的曲线，随着 x 趋向某个值，可以无限接近这些曲线。
水平渐近线与无穷极限
如果 f(x) 是定义在 ]a,+\infty[ 上的某个函数，那么就有可能计算 f 在 x 趋向无穷大时的极限。如果该极限存在，那么可以通过该极限定义 向右的水平渐近线，其方程为
A_+(x) = L^+
其中
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) = L^+
类似地，可以定义 向左的水平渐近线，其方程为
A_-(x) = L^-
当
\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x) = L^-
水平渐近线有助于描述函数 f(x) 在 x 值趋向无穷大时的行为。
垂直渐近线与无限极限
与水平渐近线类似，可以定义函数 f(x) 的 向上的垂直渐近线，其方程为 x=a，当
\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = +\infty
如果满足
\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = -\infty
则为 向下的垂直渐近线。根据侧极限的逻辑，渐近线可以是从右侧或左侧。
斜渐近线、曲线和主导项
最简单的斜渐近线出现在我们处理分式函数时
f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}
其中 P(x) 和 Q(x) 是多项式。如果 P(x) 的次数比 Q(x) 的次数高出一，那么可以通过多项式除法得到类似
f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \dfrac{r(x)}{Q(x)}
的结果，其中 C(x) 是除法的商，且 r(x) 是余数。当 P(x) 的次数比 Q(x) 高出一时，C(x) 是一次函数，因此称 f(x) 有一个斜渐近线。
一般来说，如果 P(x)的次数比 Q(x) 高，则 C(x) 的次数为 P(x) 和 Q(x) 之间的差。因此，函数的行为是“渐近逼近”于 C(x)，这就是函数的大值 x 的 主导项。
当 x 接近某个 a\in\mathbb{R} 时，也可以讨论主导项。
如果 f(x) = P(x)/Q(x) = C(x) + r(x)/Q(x), 其中 P(x), Q(x), r(x) 和 C(x) 均为多项式，当 \displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = \infty，则商 r(x)/Q(x) 是 f(x) 在 x=a 附近的 主导项。
解答练习
练习 1：
确定函数的水平渐近线和垂直渐近线
f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}
解答：
为了求 水平渐近线，计算 f(x) 在 x \to \pm\infty 时的极限：
\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{3x + 1}{x - 2} = 3
因此，水平渐近线是 y = 3。
对于 垂直渐近线，确定使分母为零的值，即 x = 2。
\lim_{x \to 2^\pm} \dfrac{3x + 1}{x - 2} = \pm\infty
这表示在 x = 2 处有垂直渐近线。
最终结果： 函数有一个水平渐近线 y = 3 和一个垂直渐近线 x = 2。
练习 2：
找出函数 g(x) = \frac{2x^2 + 3x + 4}{x + 1} 的水平渐近线和斜渐近线（如果存在）。
解答：
首先，通过计算 x \to \pm\infty 时的极限来查找 水平渐近线。由于分子的次数比分母高，所以不存在水平渐近线。
对于 斜渐近线，执行多项式除法得到以下结果：
\dfrac{2x^2 + 3x + 4}{x + 1} = 2x + 1 + \dfrac{3}{x + 1}
因此，斜渐近线是直线 y = 2x + 1，它是函数的主导项。
最终结果： 该函数没有水平渐近线，但有一个斜渐近线，其方程为 y = 2x + 1。
练习 3：
计算函数 h(x) = \frac{5}{x^2 - 4} 的垂直渐近线。
解答：
为了找到 垂直渐近线，确定使分母为零的值，即 x^2 - 4 = 0。这发生在 x = \pm 2。
评估每个值的侧极限：
\lim_{x \to 2^\pm} \dfrac{5}{x^2 - 4} = \pm\infty 和 \lim_{x \to -2^\pm} \dfrac{5}{x^2 - 4} = \pm\infty
最终结果： 该函数在 x = 2 和 x = -2 处有垂直渐近线。
练习题
- 分析函数 f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + x - 2}。确定其水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线（如果存在）。解释每一步以强化渐近线的概念及极限的计算。
- 评估函数 g(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}。确定 x 趋向无穷大时的主导项。然后，验证是否存在斜渐近线，并解释原因。
- 设计函数 h(x) = \frac{5x - 4}{x + 1} 的近似图。包括水平、垂直和斜渐近线（如果存在），并分析 h(x) 在 x 取极值时的行为。
- 检验函数 k(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1} 是否有垂直渐近线。讨论主导项在函数趋于无穷大时的极限分析中的作用。
- 探索函数 m(x) = \frac{2x^4 + 3x^2 - x + 5}{x^3 - x^2 + 2} 的主导项。确定 x \to \pm\infty 时 m(x) 的行为，并得出结论，是否趋向于多项式曲线而非直线。
- 自选一个有理函数，详细描述如何计算其水平、垂直和斜渐近线，以及主导项。通过图形展示你的发现，以便可视化每种渐近线类型。