Asymptotae, Limites et Technica Repraesentationis Graphicae

Summarium:
In hac lectione tractantur notiones asymptotarum et terminorum dominantium in analysi functionum. Exquiruntur asymptotae horizontales, quae describunt rationem functionis cum x tendit ad infinitum; asymptotae verticales, quae significant limites infinitos cum x appropinquat ad certos valores; et asymptotae obliquae, pertinentes in functionibus rationalibus cum gradus numeratoriis superat gradum denominatorii. Item consideratur terminus dominans functionis, qui praebet approximationem pro valoribus magnis vel prope certos punctos x.

Proposita Discendi
Post hanc lectionem, discipulus poterit:

1. Intelligere notionem asymptotarum horizontalium eiusque applicationem in analysi rationis functionum cum x tendit ad infinitum.
2. Ag­noscere condiciones ad existentiam asymptotarum verticalium et eas applicare in studio functionum cum limitibus infinitis cum x appropinquat ad certos valores.
3. Analy­sare apparentiam asymptotarum obliquarum in functionibus rationalibus cum gradus numeratoriis superat gradum denominatorii.
4. Applicare notionem termini dominantis ad approximandam rationem functionum in valoribus magnis x vel prope certos punctos.
5. Explicare quomodo analysis asymptotarum et terminorum dominantium conferat ad intellegendum habitum generalem functionum.

INDEX CONTENTORUM:
Introductio
Asymptotae horizontales et limites ad infinitum
Asymptotae verticales et limites infiniti
Asymptotae obliquae, curvae et termini dominantes
Exercitia Soluta
Exercitia Proposita

Introductio

Limites quos hactenus consideravimus nobis concedunt definire quaedam notiones utiles ad intellegendum habitum globalem functionum, hae sunt termini dominantes et asymptotae horizontales et verticales; hae sunt, ut ita dicamus, curvae ad quas graphice functionis tendit appropinquare quam prope velimus, dum x tendit ad certum valorem.

Asymptotae horizontales et limites ad infinitum

Si f(x) est functio definita in ]a,+\infty[, pro aliquo a\in\mathbb{R}, tunc est possibilitas computandi limitem f cum x tendit ad infinitum. Si talis limes existit, tum ex eo definitur asymptota horizontalis ad dexteram sicut recta aequationis

A_+(x) = L^+

ubi

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) = L^+

Similiter definitur asymptota horizontalis ad sinistram recta aequationis

A_-(x) = L^-

cum

\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x) = L^-

Asymptotae horizontales adiuvant describere habitum functionis f(x) cum valores x sine fine crescunt.

Asymptotae verticales et limites infiniti

Similiter ac asymptotae horizontales, definiuntur asymptotae verticales sursum functionis f(x) ut recta aequationis x=a cum

\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = +\infty

Et asymptota erit verticalis deorsum si

\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = -\infty

Et secundum rationem limitum lateralium, asymptotae erunt a dextra vel a sinistra prout convenit.

Asymptotae obliquae, curvae et termini dominantes

Apparitio simplicissima asymptotarum obliquarum fit cum tractamus functiones rationales

f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}

Ubi P(x) et Q(x) sunt polynomia. Cum gradus P(x) maior sit quam gradus Q(x), possibile est facere divisionem polynomialem, quae dat eventum formae

f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \dfrac{r(x)}{Q(x)}

Ubi C(x) est quotiens divisionis et r(x) est residuum. Si P(x) habet gradum qui superat gradum Q(x) unitate, tunc fiet ut C(x) sit gradus 1, id est, formam rectae habeat et dicetur esse asymptota obliqua f(x).

Si generaliter, P(x) habet gradum qui superat gradum Q(x) quacumque magnitudine, tunc fiet ut C(x) habeat gradum aequalem differentiae graduum inter P(x) et Q(x), atque erit consequenter curva polynomialis in genere. Hoc in casu non solet dici C(x) esse asymptotam, quamvis habitus generalis f(x) sit “asymptotice appropinquare” ad C(x) dum x\to\pm\infty. Hoc in casu dicitur C(x) esse terminus dominans f(x) pro magnis valoribus x.

Item possibile est loqui de termino dominante cum x est prope a\in\mathbb{R}.

Si f(x) = P(x)/Q(x) = C(x) + r(x)/Q(x), cum P(x), Q(x), r(x) et C(x) sint polynomia. Si \displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = \infty, tum dicetur quotiens r(x)/Q(x) esse terminus dominans f(x) prope x=a.

Exercitia Soluta

Exercitium 1:

Determina asymptotas horizontales et verticales functionis

f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}

Solutio:

Ad inveniendam asymptotam horizontalem, computamus limitem f(x) cum x \to \pm\infty:

\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{3x + 1}{x - 2} = 3

Ergo asymptota horizontalis est y = 3.

Ad asymptotam verticalem, agnoscimus valorem ubi denominator evanescit, id est, cum x = 2.

\lim_{x \to 2^\pm} \dfrac{3x + 1}{x - 2} = \pm\infty

Hoc significat asymptotam verticalem in x = 2.

Eventus finalis: Functio habet asymptotam horizontalem in y = 3 et asymptotam verticalem in x = 2.

Exercitium 2:

Inveni asymptotas horizontales et obliquas, si existunt, functionis g(x) = \frac{2x^2 + 3x + 4}{x + 1}.

Solutio:

Primum quaerimus asymptotam horizontalem computando limitem cum x \to \pm\infty. Cum gradus numeratorii maior sit quam gradus denominatorii, asymptota horizontalis non existit.

Ad asymptotam obliquam, facimus divisionem polynomialem obtinentes hunc eventum:

\dfrac{2x^2 + 3x + 4}{x + 1} = 2x + 1 + \dfrac{3}{x + 1}

Itaque asymptota obliqua est recta y = 2x + 1, quae est terminus dominans functionis.

Eventus finalis: Functio non habet asymptotam horizontalem, sed habet asymptotam obliquam quae est recta y = 2x + 1.

Exercitium 3:

Computa asymptotam verticalem h(x) = \frac{5}{x^2 - 4}.

Solutio:

Ad inveniendam asymptotam verticalem, agnoscimus valores ubi denominator evanescit, id est, x^2 - 4 = 0. Hoc fit in x = \pm 2.

Aestimamus limites laterales pro unoquoque valore:

\lim_{x \to 2^\pm} \dfrac{5}{x^2 - 4} = \pm\infty et \lim_{x \to -2^\pm} \dfrac{5}{x^2 - 4} = \pm\infty

Eventus finalis: Functio habet asymptotas verticales in x = 2 et x = -2.

Exercitia Proposita

1. Analysa functionem f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + x - 2}. Determina eius asymptotas horizontales, verticales et obliquas, si existant. Explica unumquemque passum ad confirmandum conceptum asymptotarum et computum limitum.
2. Evalu­a functionem g(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}. Identifica terminum dominantem cum x tendit ad infinitum. Deinde, verifica si asymptota obliqua existat, rationem reddens responsi tui.
3. Designa graphice approximatam functionis h(x) = \frac{5x - 4}{x + 1}. Include asymptotas horizontales, verticales et obliquas (si existant) et analysa habitum h(x) pro valoribus extremis x.
4. Proba si functio k(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1} habeat asymptotas verticales. Disserere de munere terminorum dominantium in analysi limitis k(x) in valoribus ubi functio tendit ad infinitum.
5. Explora terminos dominantes m(x) = \frac{2x^4 + 3x^2 - x + 5}{x^3 - x^2 + 2}. Determina habitum m(x) cum x \to \pm\infty, et conclude si appropinquet ad curvam polynomialem potius quam ad rectam.
6. Formula functionem rationalem ad tuam electionem et describe accurate quomodo computentur asymptotae horizontales, verticales et obliquae, praeterea termini dominantes. Exhibe inventa tua per graphicos ad visualizandum unumquemque genus asymptotae.