정수와 그 표현

위치적 기수법

변수와 메모리 수업은 변수를 이름, 자료형, 값을 가진 칸으로 소개했다. 그런데 메모리는 십진 숫자를 저장하지 않는다. 메모리가 저장하는 것은 비트이며, 각 비트의 값은 0 또는 1이고, 여덟 비트씩 묶여 바이트를 이룬다(표준은 적어도 여덟 비트를 요구하며, 오늘날의 모든 시스템은 정확히 여덟 비트를 쓴다). 그러므로 정수 변수가 어떤 값을 가질 수 있는지 알려면, 숫자 두 개만으로 수를 어떻게 쓰는지 알아야 하며, 그것을 하는 것이 밑이 2인 위치적 기수법이다.

밑이 $b$인 위치적 기수법에서 각 숫자의 값은 그 숫자가 차지한 위치에 따라 정해진다. 마지막 자리의 숫자는 $b^0 = 1$에 곱해지고, 그 앞자리의 숫자는 $b^1$에, 다시 그 앞자리의 숫자는 $b^2$에 곱해지며, 이런 식으로 계속된다. 십진법에서 $2026$의 의미는 $2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$이다. 이진법에서 숫자는 0과 1이고, 가중치는 아래와 같은 2의 거듭제곱이다: $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, \ldots$ 이로부터 이진법을 십진법으로 바꾸는 규칙이 나온다. 1이 있는 위치의 가중치를 더하면 된다.

반대 방향, 곧 십진법에서 이진법으로 가는 길은 연속 나눗셈으로 간다. 수를 2로 나누어 나머지(0 또는 1)를 적고, 몫으로 같은 일을 0이 될 때까지 되풀이한다. 나머지를 마지막 것부터 첫 번째 것까지 읽으면 그것이 이진법의 숫자이다. 45의 경우: $45 = 2 \cdot 22 + 1$, $22 = 2 \cdot 11 + 0$, $11 = 2 \cdot 5 + 1$, $5 = 2 \cdot 2 + 1$, $2 = 2 \cdot 1 + 0$, $1 = 2 \cdot 0 + 1$. 나머지를 거꾸로 읽으면 101101이 되고, 왼쪽에 0을 두 개 붙이면 그림의 패턴이 된다. 그 이유는 각 나머지가 나누어지는 수의 일의 자리 숫자이고, 각 몫이 그 수를 오른쪽으로 한 자리 민 것이기 때문이다. 같은 방법은 어느 밑에나 통한다. 밑 16에서는 16으로 나누고, 10부터 15까지의 나머지는 문자 a부터 f까지로 쓴다.

밑 16, 곧 십육진법은 편리함 때문에 쓰인다. $16 = 2^4$의 관계에 따라 십육진법의 각 자리는 정확히 4비트에 대응하고, 한 바이트는 두 자리로 쓰인다. 32비트의 수는 이진법으로는 서른두 자리를 차지해 읽기 어렵지만, 십육진법으로는 여덟 자리뿐이며, 계산 없이 한 자리씩 이진법으로 바꿀 수 있다. 그래서 프로그래머는 메모리를 십육진법으로 읽는다. 위치적 기수법의 수학적 기초는 강좌 「대수학과 기하학 I」의 수업 「위치적 기수법」에서 공부한다.

C++에서는 이 밑들로 직접 쓴 정수를 쓸 수 있다. 0b로 시작하는 리터럴은 이진법이고, 0x로 시작하는 리터럴은 십육진법이다. 어떤 리터럴 안에도 자릿수 구분자로 아포스트로피를 넣을 수 있는데, 컴파일러는 그것을 무시하고 읽는 사람은 그것을 반긴다: 0b0010'1101, 1'000'000. 출력에서 형식 지정 {:b}는 정수를 이진법으로 쓰고, {:x} 지정은 십육진법 소문자로, {:X} 지정은 대문자로 쓴다. 기호 #는 접두사를 앞에 붙이고, 앞에 0을 둔 너비는 왼쪽을 0으로 채운다.

#include <print>​int main(){    const int decimal{45};    const int binary{0b0010'1101};    const int hexadecimal{0x2d};    std::println("{} {} {}", decimal, binary, hexadecimal);    std::println("이진수: {:b}", decimal);    std::println("8비트: {:08b}", decimal);    std::println("십육진수: {:x} {:X} {:#x}", decimal, decimal, decimal);}

45 45 45이진수: 1011018비트: 00101101십육진수: 2d 2D 0x2d