자연수와 논리식에 관한 귀납법

모든 논리식에 관한 주장

명제 논리의 언어 수업에서는 원과 원판이라 부르는 두 기호 $\sigO$과 $\sigI$, 그리고 단 하나의 형성 규칙으로부터 논리식을 구성했다. 논리식은 무한히 많으며, 중요한 주장 가운데 많은 것이 그 모두에 관한 것이다. 모든 논리식은 원판으로 끝난다는 것, 어떤 논리식도 두 가지로 읽히지 않는다는 것, 모든 논리식에서 변항이 연결 원판보다 하나 많다는 것 등이다. 이러한 주장은 우리가 연구하는 언어의 논리식이 아니라 그 언어에 관한 진술이며, 메타언어(수학적 표기의 도움을 받는 한국어)로 표현된다. 따라서 그 증명은 형식 체계 내부의 연역이 아니라, 형식 체계를 대상으로 하는 통상의 수학적 추론이다. 그래서 이러한 증명을 메타이론적 증명 또는 외적 증명이라 부른다.

그러나 확인한 예를 아무리 많이 모아도, 무한히 많은 대상에 관한 주장은 증명되지 않는다. 이로부터, 유한 번의 확인으로부터 어떤 성질이 무한히 많은 경우에 성립한다고 결론짓게 해 주는 원리가 필요함이 따라 나온다. 그 원리가 귀납법이다. 먼저 더 익숙한 자연수에 대해 제시하고, 다음으로 그것에 기대는 논리식에 대해 제시한다. 같은 도구가 메타이론 단원에서 연역 체계의 건전성과 완전성을 증명하게 된다.