대수 구조: 군, 환, 체

이항연산

이 강좌와 대수학과 기하학 I 강좌에 걸쳐 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수를 더하고 곱했으며, 함수를 합성하고, 행렬을 곱하고, 평면의 회전을 잇달아 시행했다. 이 연산들은 모두 한 집합의 두 대상을 받아 같은 집합의 세 번째 대상을 돌려주며, 그 모든 연산에서 비슷한 성질이 거듭 증명되었다. 이 수업은 그 성질들을 따로 떼어 내어, 대상의 본성이 무엇이든 그로부터 무엇이 따라 나오는지를 살펴본다.

집합 $A$ 위의 이항연산이란, 원소의 순서쌍($a$와 $b$, 둘 다 $A$의 원소) 각각에 $A$의 유일한 원소를 대응시키는 규칙이며, 그 원소를 $a \cdot b$ 또는 간단히 $ab$로 쓴다. 결과가 $A$에 속한다는 것을, $A$가 그 연산에 대하여 닫혀 있다고 한다.

여기서 점은 반드시 수의 곱을 나타내는 것은 아니다. 그것은 연산의 일반적인 이름이며, 경우에 따라 덧셈, 곱셈, 합성, 또는 그 밖의 어떤 연산이든 될 수 있다. 연산이 덧셈일 때는 관례에 따라 기호 $+$를 쓴다. 관심 있는 성질은 네 가지이다. 연산이 결합적이라는 것은 $(ab)c = a(bc)$가 모든 $a$, $b$, $c$($A$의 원소)에 대하여 성립한다는 것이고, 교환 가능하다는 것은 $ab = ba$가 모든 $a$와 $b$에 대하여 성립한다는 것이다. 원소 $e$($A$의 원소)가 항등원이라는 것은 $ea = ae = a$가 모든 $a$에 대하여 성립한다는 것이다. 또한 항등원이 있을 때, 원소 $b$가 $a$의 역원이라는 것은 $ab = ba = e$가 된다는 것이다.

네 성질 중 어느 것도 저절로 성립하지는 않는다. 뺄셈은 $\mathbb{Z}$ 위의 이항연산이지만 결합적이지도 교환 가능하지도 않으며, 항등원도 없다. $0$은 $a - 0 = a$를 만족하지만 $0 - a = a$는 만족하지 않는다. 나눗셈은 $\mathbb{Q}$ 위의 이항연산이 아니다. $1$과 $0$으로 이루어진 쌍에 아무것도 대응시키지 않기 때문이다. $\mathbb{N}$에서의 덧셈은 결합적이고 교환 가능하지만 항등원이 없다. 강좌 I에서 자연수는 $1$부터 시작하기 때문이다. 함수의 합성은 결합적이지만 교환 가능하지 않으며, 이는 강좌 I의 함수의 연산에 관한 수업에서 증명했다. 같은 차의 정사각행렬의 곱도 마찬가지이며, 이는 행렬과 행렬의 연산에 관한 수업에서 다루었고, 그 항등원은 단위행렬 $I$이다.