直線の方程式と直交座標系

座標平面

実数は直線上の点として表される。すなわち、一点を原点として選び、単位の長さと正の向きを定める。フェルマーとデカルトの考え（彼らの後に整えられた形でのもの）は、このような直線を二本、垂直にかつ原点を共有するように用いて、平面の点を表すことである。各点 $P$ には、その横軸と縦軸への射影からなる順序対 $(x, y)$ が対応し、各順序対にはただ一つの点が対応する。数 $x$ と $y$ を $P$ の座標といい、二本の軸は平面を四つの象限に分ける。

座標によって、幾何の問題は代数の問題に変わる。平面上の曲線は $x$ と $y$ の間の方程式で表される。これが解析幾何の考え方である。

認めるユークリッド幾何の事実

解析幾何はユークリッドの幾何に取って代わるのではなく、それを翻訳する。解析幾何が扱う図形は初等幾何の図形であり、初等幾何のいくつかの定理が出発点となる。それらの証明はユークリッド幾何の公理的な構成に属し、このコースでは展開しない。そのため、この単元で用いるこの幾何の事実を次の一覧にまとめ、証明なしに認める。単元のある課がそのうちの一つを用いるときには、いつもこの一覧を参照する。

1. 直線と軸。異なる二点を通る直線はただ一つである。座標軸は自由に選ぶことができる。任意の垂直な二直線は、その共有点を原点とし、それぞれに正の向きを定め、両方に同じ単位の長さをとれば、座標軸の系をなし、距離、角、図形はこの選び方によらない。
2. 三平方の定理（ピタゴラスの定理）とその逆。三角形がある頂点で直角であるのは、その頂点の対辺の平方が他の二辺の平方の和に等しいとき、かつそのときに限る。
3. 平行線。直線外の一点を通り、その直線に平行な直線はただ一つである。また、二本の平行な直線が第三の直線と交わるとき、第三の直線がそれらとなす同位角は等しい。
4. 平行線と線分の比の定理（ターレスの定理）と相似。いくつかの平行な直線が二直線と交わるとき、それらが一方の直線上に切り取る線分は、他方の直線上に切り取る線分に比例する。また、角がそれぞれ等しい二つの三角形は、辺が比例する。
5. 三角形の角。三角形の三つの角の和は二直角である。特に、直角三角形の直角でない二つの角は鋭角であり、鋭角の補角は鈍角である。
6. 二等辺三角形。二辺が等しい三角形において、それらの辺に対する角は等しい。

最もよく使うのは第一の自由である。曲線を調べるには、その方程式ができるだけ簡単になるように、たとえば放物線の頂点を原点に置くように軸を配置するとよく、第一の事実により、それで一般性は失われない。

距離と中点

二点 $P_1 = (x_1, y_1)$ と $P_2 = (x_2, y_2)$ の間の距離は、認めた事実の第二である三平方の定理から得られる。二点を結ぶ線分は直角三角形の斜辺であり、その直角をはさむ二辺は軸に平行で、長さはそれぞれ横座標の差の絶対値と縦座標の差の絶対値である（二つの差の一方が零ならば、線分は一方の軸に平行で、その長さは他方の差の絶対値であり、これも公式が与えるとおりである）。

線分の中点の座標は、両端の座標の平均である。これを補題として述べるのは、垂直二等分線、放物線の対称性による方法、そして円錐曲線で用いるからである。