बीजीय संरचनाएँ: समूह, वलय और क्षेत्र

द्विआधारी संक्रियाएँ

इस पाठ्यक्रम में और बीजगणित और ज्यामिति I पाठ्यक्रम में प्राकृत संख्याओं, पूर्णांकों, परिमेय, वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ा और गुणा किया गया है; फलनों का संघटन किया गया है, आव्यूहों को गुणा किया गया है और समतल के घूर्णनों को एक के बाद एक लागू किया गया है। इनमें से प्रत्येक संक्रिया किसी समुच्चय की दो वस्तुएँ लेती है और उसी समुच्चय की एक तीसरी वस्तु लौटाती है, और इन सभी में मिलते-जुलते गुण बार-बार सिद्ध किए गए हैं। यह पाठ उन गुणों को अलग करके देखता है और अध्ययन करता है कि उनसे क्या निकलता है, वस्तुओं की प्रकृति चाहे जो हो।

किसी समुच्चय $A$ पर एक द्विआधारी संक्रिया एक नियम है जो अवयवों के प्रत्येक क्रमित युग्म ($a$ और $b$, दोनों $A$ के अवयव) को $A$ का एक अद्वितीय अवयव सौंपता है, जिसे $a \cdot b$ या केवल $ab$ लिखा जाता है। परिणाम का $A$ में होना यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि $A$ उस संक्रिया के अंतर्गत संवृत है।

यहाँ बिंदु आवश्यक रूप से संख्याओं का गुणनफल नहीं दर्शाता: यह संक्रिया का सामान्य नाम है, जो हर स्थिति में योग, गुणन, संघटन या कोई अन्य संक्रिया होगी। जब संक्रिया योग हो, तो परिपाटी से चिह्न $+$ का उपयोग किया जाता है। जिन गुणों में रुचि है, वे चार हैं। संक्रिया साहचर्य है यदि $(ab)c = a(bc)$ सभी $a$, $b$ और $c$ के लिए हो जो $A$ में हैं, और क्रमविनिमेय है यदि $ab = ba$ सभी $a$ और $b$ के लिए हो। एक अवयव $e$, जो $A$ में है, तत्समक है यदि $ea = ae = a$ प्रत्येक $a$ के लिए हो; और, यदि तत्समक हो, तो एक अवयव $b$, $a$ का प्रतिलोम है जब $ab = ba = e$ हो।

चारों गुणों में से कोई भी अपने-आप नहीं मिलता। व्यवकलन $\mathbb{Z}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है, पर यह न साहचर्य है न क्रमविनिमेय, और इसका कोई तत्समक नहीं है: $0$, $a - 0 = a$ को संतुष्ट करता है, पर $0 - a = a$ को नहीं। विभाजन $\mathbb{Q}$ पर द्विआधारी संक्रिया नहीं है, क्योंकि यह $1$ और $0$ से बने युग्म को कुछ नहीं सौंपता। $\mathbb{N}$ में योग साहचर्य और क्रमविनिमेय है, पर इसका कोई तत्समक नहीं है, क्योंकि पाठ्यक्रम I में प्राकृत संख्याएँ $1$ से शुरू होती हैं। फलनों का संघटन साहचर्य है और क्रमविनिमेय नहीं है, जैसा कि पाठ्यक्रम I के फलनों की संक्रियाओं वाले पाठ में सिद्ध किया गया था, और यही बात एक ही कोटि के वर्ग आव्यूहों के गुणनफल के साथ होती है, जिसका अध्ययन आव्यूह और आव्यूहों पर संक्रियाएँ वाले पाठ में किया गया, और जिसका तत्समक तत्समक आव्यूह $I$ है।