Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Η εξίσωση της ευθείας και τα καρτεσιανά συστήματα

Περίληψη

Αυτό το μάθημα παρουσιάζει το καρτεσιανό επίπεδο, που αντιστοιχίζει σε κάθε σημείο ένα ζεύγος αριθμών, και μαζί του την απόσταση δύο σημείων και το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος. Ορίζει την κλίση μιας ευθείας, αποδεικνύει ότι δεν εξαρτάται από τα σημεία που επιλέγονται και συνάγει τις μορφές της εξίσωσης της ευθείας, συμπεριλαμβανομένων των κατακόρυφων ευθειών. Μελετά έπειτα τις παράλληλες και τις κάθετες ευθείες, καθώς και την τομή δύο ευθειών ως λύση ενός συστήματος εξισώσεων, με εφαρμογές σε προβλήματα μεγεθών που μεταβάλλονται γραμμικά.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να παριστάνει σημεία στο καρτεσιανό επίπεδο και να υπολογίζει αποστάσεις και μέσα ευθύγραμμων τμημάτων.
  2. Να υπολογίζει την κλίση μιας ευθείας και να βρίσκει την εξίσωσή της από ένα σημείο και την κλίση ή από δύο σημεία.
  3. Να αναγνωρίζει παράλληλες και κάθετες ευθείες από τις κλίσεις τους.
  4. Να βρίσκει την τομή δύο ευθειών λύνοντας ένα σύστημα εξισώσεων, και να μοντελοποιεί με ευθείες γραμμικές σχέσεις μεταξύ μεγεθών.

Το καρτεσιανό επίπεδο

Οι πραγματικοί αριθμοί παριστάνονται ως τα σημεία μιας ευθείας: επιλέγεται ένα σημείο ως αρχή, μια μονάδα μήκους και μια θετική φορά. Η ιδέα του Φερμά και του Καρτέσιου, στη μορφή που πήρε μετά από αυτούς, είναι να χρησιμοποιηθούν δύο τέτοιες ευθείες, κάθετες και με κοινή αρχή, για να παρασταθούν τα σημεία του επιπέδου: σε κάθε σημείο PP αντιστοιχεί το διατεταγμένο ζεύγος (x,y)(x, y) των προβολών του στον οριζόντιο και στον κατακόρυφο άξονα, και σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος ένα μοναδικό σημείο. Οι αριθμοί xx και yy είναι οι συντεταγμένες του PP, και οι άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα τεταρτημόρια.

Με τις συντεταγμένες, τα γεωμετρικά προβλήματα μετατρέπονται σε αλγεβρικά: οι καμπύλες του επιπέδου περιγράφονται με εξισώσεις μεταξύ xx και yy. Αυτή είναι η ιδέα της αναλυτικής γεωμετρίας.

Τα γεγονότα της ευκλείδειας γεωμετρίας που δεχόμαστε

Η αναλυτική γεωμετρία δεν αντικαθιστά τη γεωμετρία του Ευκλείδη, αλλά τη μεταφράζει: τα σχήματα για τα οποία μιλά είναι εκείνα της στοιχειώδους γεωμετρίας, και ορισμένα από τα θεωρήματά της χρησιμεύουν ως αφετηρία. Η απόδειξή τους ανήκει στην αξιωματική θεμελίωση της ευκλείδειας γεωμετρίας, την οποία αυτός ο κύκλος μαθημάτων δεν αναπτύσσει. Γι’ αυτό τα γεγονότα αυτής της γεωμετρίας που χρησιμοποιεί η ενότητα συγκεντρώνονται στον κατάλογο που ακολουθεί και γίνονται δεκτά χωρίς απόδειξη· κάθε φορά που ένα μάθημα της ενότητας καταφεύγει σε κάποιο από αυτά, παραπέμπει σε αυτόν τον κατάλογο.

  1. Ευθείες και άξονες. Από δύο διαφορετικά σημεία διέρχεται μία μοναδική ευθεία. Οι άξονες συντεταγμένων μπορούν να επιλεγούν ελεύθερα: δύο οποιεσδήποτε κάθετες ευθείες, με το κοινό τους σημείο ως αρχή, μια θετική φορά σε καθεμία και την ίδια μονάδα μήκους και στις δύο, σχηματίζουν ένα σύστημα αξόνων, και οι αποστάσεις, οι γωνίες και τα σχήματα δεν εξαρτώνται από αυτή την επιλογή.
  2. Το Πυθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφό του. Ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο σε μια κορυφή αν και μόνο αν το τετράγωνο της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από αυτή την κορυφή είναι το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων.
  3. Οι παράλληλες. Από ένα σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μία μοναδική παράλληλη προς αυτήν· και αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από μια τρίτη, οι αντίστοιχες γωνίες που σχηματίζει αυτή με εκείνες είναι ίσες.
  4. Το θεώρημα του Θαλή και η ομοιότητα. Αν πολλές παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο ευθείες, τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζουν στη μία είναι ανάλογα προς εκείνα που ορίζουν στην άλλη· και δύο τρίγωνα με αντίστοιχα ίσες γωνίες έχουν τις πλευρές τους ανάλογες.
  5. Οι γωνίες ενός τριγώνου. Οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα δύο ορθές· ειδικότερα, οι δύο μη ορθές γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι οξείες, και η παραπληρωματική μιας οξείας γωνίας είναι αμβλεία.
  6. Το ισοσκελές τρίγωνο. Σε ένα τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές, οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από αυτές τις πλευρές είναι ίσες.

Η πρώτη ελευθερία είναι εκείνη που θα χρησιμοποιηθεί περισσότερο: για να μελετηθεί μια καμπύλη, συμφέρει να τοποθετηθούν οι άξονες έτσι ώστε η εξίσωσή της να είναι όσο το δυνατόν απλούστερη, για παράδειγμα με την κορυφή μιας παραβολής στην αρχή, και το πρώτο γεγονός εξασφαλίζει ότι έτσι δεν χάνεται η γενικότητα.

Απόσταση και μέσο

Η απόσταση δύο σημείων P1=(x1,y1)P_1 = (x_1, y_1) και P2=(x2,y2)P_2 = (x_2, y_2) προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα, το δεύτερο από τα γεγονότα που δεχόμαστε: το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει είναι η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου του οποίου οι κάθετες πλευρές, παράλληλες προς τους άξονες, έχουν μήκος την απόλυτη τιμή της διαφοράς των τετμημένων και την απόλυτη τιμή της διαφοράς των τεταγμένων (αν μία από τις δύο διαφορές είναι μηδέν, το ευθύγραμμο τμήμα είναι παράλληλο προς έναν άξονα και το μήκος του είναι η απόλυτη τιμή της άλλης, όπως δίνει και ο τύπος).

d(P1,P2)=(x2−x1)2+(y2−y1)2d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος έχει συντεταγμένες τους μέσους όρους των συντεταγμένων των άκρων του. Το διατυπώνουμε ως λήμμα, επειδή θα χρησιμοποιηθεί στη μεσοκάθετο, στη μέθοδο της συμμετρίας των παραβολών και στις κωνικές τομές.

ΛήμμαΤο μέσο ευθύγραμμου τμήματος

Το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα P1=(x1,y1)P_1 = (x_1, y_1) και P2=(x2,y2)P_2 = (x_2, y_2) είναι το σημείο MM που δίνεται παρακάτω, και καθένα από τα δύο μισά έχει μήκος το μισό της απόστασης d(P1,P2)d(P_1, P_2).

M=(x1+x22,y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Απόδειξη

  1. xM−x1=x2−xMx_M - x_1 = \dato{t}{x_2 - x_M}

    Έστω M=(xM,yM)M = (x_M, y_M) το μέσο. Οι παράλληλες προς τον κατακόρυφο άξονα που φέρονται από τα P1P_1, MM και P2P_2 τέμνουν τον οριζόντιο άξονα στα x1x_1, xMx_M και x2x_2. Από το θεώρημα του Θαλή, τέταρτο από τα γεγονότα που δεχόμαστε, επειδή το MM ισαπέχει από το P1P_1 και από το P2P_2, είναι ίσα και τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζουν αυτές οι παράλληλες πάνω στον άξονα, οπότε το xMx_M βρίσκεται στη μέση της απόστασης ανάμεσα στο x1x_1 και στο x2x_2 (αν x1=x2x_1 = x_2, οι τρεις τετμημένες συμπίπτουν και η ισότητα είναι άμεση).

  2. xM−x1=x2−xM→xM=x1+x22x_M - x_1 = \resaltar{x_2 - x_M} \rightarrow x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}

    Λύνουμε ως προς την τετμημένη του MM.

  3. yM=y1+y22y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}

    Με τις παράλληλες προς τον οριζόντιο άξονα συλλογιζόμαστε με τον ίδιο τρόπο πάνω στον κατακόρυφο άξονα.

  4. d(P1,M)=(x2−x12)2+(y2−y12)2=12d(P1,P2)=d(M,P2)d(P_1, M) = \sqrt{\left(\frac{x_2 - x_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_2 - y_1}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}d(P_1, P_2) = d(M, P_2)

    Έλεγχος με τον τύπο της απόστασης: οι διαφορές των συντεταγμένων μεταξύ P1P_1 και MM είναι το μισό εκείνων μεταξύ P1P_1 και P2P_2, και το ίδιο συμβαίνει μεταξύ MM και P2P_2.

ΠαράδειγμαΗ απόσταση δύο σημείων

Να υπολογιστεί η απόσταση των σημείων P1=(1,1)P_1 = (1, 1) και P2=(5,4)P_2 = (5, 4).

Απόδειξη

  1. Δx=5−1=4,Δy=4−1=3\Delta x = 5 - 1 = \dato{a}{4}, \quad \Delta y = 4 - 1 = \dato{b}{3}

    Οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου έχουν μήκος τη διαφορά των τετμημένων και τη διαφορά των τεταγμένων.

  2. d2=42+32=25d^2 = \resaltar{4}^2 + \resaltar{3}^2 = 25

    Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών.

  3. d(P1,P2)=5d(P_1, P_2) = 5

    Η απόσταση είναι η θετική τετραγωνική ρίζα.