Die natürlichen Zahlen und die Peano-Axiome

Zusammenfassung

Diese Lektion definiert die natürlichen Zahlen durch die fünf Peano-Axiome: eine Menge $\mathbb{N}$ mit einem Element $1$ und einer Nachfolgerfunktion $S$ von $\mathbb{N}$ nach $\mathbb{N}$ , die injektiv ist und die $1$ nicht erreicht, in der jede Teilmenge, die die $1$ und den Nachfolger jedes ihrer Elemente enthält, die ganze Menge ist. Sie benennt die aufeinanderfolgenden Nachfolger der $1$ , leitet aus dem fünften Axiom das Induktionsprinzip für Eigenschaften her und wendet es zuerst auf eine Eigenschaft des Nachfolgers und danach auf Aufgaben steigender Schwierigkeit an: die Summe der ersten natürlichen Zahlen, eine Ungleichung, die sich erst nach ihrer Verschärfung beweisen lässt, die bernoullische Ungleichung, die Überdeckung eines Bretts mit L-Steinen und die Kommutativität der Addition.

Lernziele

Die Peano-Axiome formulieren und angeben, welche Eigenschaft der natürlichen Zahlen jedes von ihnen sichert.
Die ersten natürlichen Zahlen als iterierte Nachfolger der $1$ schreiben und von der symbolischen zur üblichen Schreibweise übergehen.
Das Induktionsprinzip in einem einfachen Beweis anwenden.

Die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen

Die natürlichen Zahlen, auch positive ganze Zahlen genannt, sind die Zahlen, mit denen wir zählen und messen. Sie treten auf die natürlichste Weise beim Zählen auf, der einfachsten Tätigkeit der Arithmetik. Sie werden durch die Peano-Axiome definiert: Man nimmt an, dass es eine Menge gibt, die mit $\mathbb{N}$ bezeichnet wird und deren Elemente natürliche Zahlen heißen, mit einem ausgezeichneten Element, der $1$ , und einer Funktion $S$ , dem Nachfolger, die jeder natürlichen Zahl $n$ eine andere natürliche Zahl $S(n)$ zuordnet, und dass die folgenden fünf Axiome gelten. Die Begriffe Menge, Funktion und injektive Funktion, die darin vorkommen, werden in der Lektion über Mengen, Relationen und Funktionen definiert.

$1$ ist eine natürliche Zahl: $1 \in \mathbb{N}$ .
$S$ ist eine Funktion von $\mathbb{N}$ nach $\mathbb{N}$ : Ist $n$ eine natürliche Zahl, so ist auch ihr Nachfolger $S(n)$ eine.
$1$ ist Nachfolger keiner natürlichen Zahl: $S(n) \neq 1$ für alle $n$ aus $\mathbb{N}$ .
$S$ ist injektiv: Aus $S(n) = S(m)$ folgt $n = m$ .
Enthält eine Menge $A$ natürlicher Zahlen die $1$ und mit jedem $k$ aus $A$ auch $S(k)$ , so ist $A$ die Menge aller natürlichen Zahlen: $A = \mathbb{N}$ .

Beim Studium der Peano-Axiome bemerken wir, dass das Symbol $1$ nur eine Darstellung ist, die auf eine bestimmte natürliche Zahl verweist: diejenige, die diese Eigenschaften hat. So wie $1$ die erste natürliche Zahl darstellt, verwenden wir vertraute Symbole, um ihre Nachfolger darzustellen:

2 = S(1), \quad 3 = S(2), \quad 4 = S(3), \quad \ldots

Die Symbole $2, 3, 4, \ldots$ sind also abstrakte Gegenstände, die die aufeinanderfolgenden Nachfolger der $1$ darstellen. Die Gesamtheit, die aus der $1$ und all diesen besteht, ist die Menge der natürlichen Zahlen:

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}

Man sagt auch, dass die natürlichen Zahlen eine Folge bilden, die Folge der natürlichen Zahlen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, \ldots