معادلة المستقيم وأنظمة الإحداثيات الديكارتية

ملخص

يقدّم هذا الدرس المستوى الديكارتي، الذي يُقرن بكل نقطة زوجًا من الأعداد، ومعه المسافة بين نقطتين ومنتصف القطعة المستقيمة. ويعرّف ميل المستقيم، ويبرهن أنه لا يتعلق بالنقطتين المختارتين، ويستنتج أشكال معادلة المستقيم، بما فيها المستقيمات الرأسية. ثم يدرس المستقيمات المتوازية والمتعامدة، وتقاطع مستقيمين بوصفه حلًّا لنظام معادلات، مع تطبيقات على مسائل في مقادير تتغير تغيرًا خطيًا.

أهداف التعلم

تمثيل النقاط في المستوى الديكارتي وحساب المسافات والمنتصفات.
حساب ميل المستقيم وإيجاد معادلته انطلاقًا من نقطة والميل، أو من نقطتين.
تمييز المستقيمات المتوازية والمتعامدة من ميولها.
إيجاد تقاطع مستقيمين بحل نظام معادلات، ونمذجة العلاقات الخطية بين المقادير بالمستقيمات.

المستوى الديكارتي

تُمثَّل الأعداد الحقيقية بنقاط مستقيم: تُختار نقطة أصلًا، وطولٌ يُتّخذ مقياسًا، واتجاه موجب. وفكرة فيرما وديكارت، بالصيغة التي اتخذتها بعدهما، هي استعمال مستقيمين من هذا النوع، متعامدين ولهما أصل مشترك، لتمثيل نقاط المستوى: فلكل نقطة $P$ يقابلها الزوج المرتب $(x, y)$ المكوَّن من مسقطيها على المحور الأفقي والمحور الرأسي، ولكل زوج مرتب نقطة وحيدة. ويسمى العددان $x$ و $y$ إحداثيي النقطة $P$ ، ويقسم المحوران المستوى إلى أربعة أرباع.

بالإحداثيات تتحول المسائل الهندسية إلى مسائل جبرية: فالمنحنيات في المستوى توصف بمعادلات تربط بين $x$ و $y$ . وهذه هي فكرة الهندسة التحليلية.

حقائق الهندسة الإقليدية المقبولة

لا تحلّ الهندسة التحليلية محل هندسة إقليدس، بل تترجمها: فالأشكال التي تتحدث عنها هي أشكال الهندسة الأولية، وبعض مبرهناتها يصلح نقطة انطلاق. وبرهان هذه المبرهنات ينتمي إلى البناء المسلَّماتي للهندسة الإقليدية، الذي لا تتناوله هذه الدورة. لذلك تُجمع حقائق تلك الهندسة التي تستعملها الوحدة في القائمة الآتية، وتُقبل دون برهان؛ وكلما لجأ درس من دروس الوحدة إلى إحداها أحال إلى هذه القائمة.

المستقيمات والمحاور. يمر بنقطتين مختلفتين مستقيم وحيد. ويمكن اختيار محوري الإحداثيات بحرية: فأي مستقيمين متعامدين، مع نقطتهما المشتركة أصلًا، واتجاه موجب على كل منهما، والطول المقياسي نفسه على كليهما، يكوّنان نظام محاور، ولا تتعلق المسافات والزوايا والأشكال بهذا الاختيار.
مبرهنة فيثاغورس وعكسها. يكون المثلث قائم الزاوية عند أحد رؤوسه إذا وفقط إذا كان مربع الضلع المقابل لذلك الرأس يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.
المتوازيات. يمر بنقطة خارج مستقيم مستقيم وحيد يوازيه؛ وإذا قطع مستقيم ثالث مستقيمين متوازيين، كانت الزوايا المتناظرة التي يكوّنها معهما متساوية.
مبرهنة طاليس والتشابه. إذا قطعت عدة مستقيمات متوازية مستقيمين، كانت القطع التي تحددها على أحدهما متناسبة مع القطع التي تحددها على الآخر؛ والمثلثان اللذان تتساوى زواياهما على الترتيب تكون أضلاعهما متناسبة.
زوايا المثلث. مجموع زوايا المثلث الثلاث يساوي قائمتين؛ وبخاصة، فإن الزاويتين غير القائمتين في المثلث القائم حادتان، ومكمّلة الزاوية الحادة منفرجة.
المثلث متساوي الساقين. في المثلث الذي له ضلعان متساويان، تكون الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين متساويتين.

الحرية الأولى هي الأكثر استعمالًا: فلدراسة منحنٍ يحسن وضع المحورين بحيث تكون معادلته أبسط ما يمكن، كأن يوضع رأس القطع المكافئ في الأصل مثلًا، والحقيقة الأولى تضمن أنه لا يُفقد بذلك شيء من العمومية.

المسافة والمنتصف

تُحسب المسافة بين نقطتين $P_1 = (x_1, y_1)$ و $P_2 = (x_2, y_2)$ بمبرهنة فيثاغورس، الحقيقة الثانية من الحقائق المقبولة: فالقطعة المستقيمة التي تصل بينهما هي وتر مثلث قائم الزاوية ضلعاه القائمان، الموازيان للمحورين، طولاهما القيمة المطلقة لفرق الفاصلتين والقيمة المطلقة لفرق الترتيبتين (وإذا انعدم أحد الفرقين، كانت القطعة موازية لأحد المحورين وطولها القيمة المطلقة للفرق الآخر، وهو ما تعطيه الصيغة).

d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

إحداثيا منتصف القطعة المستقيمة هما متوسطا إحداثيات طرفيها. ونصوغ ذلك توطئةً، لأنها ستُستعمل في محور القطعة، وفي طريقة التناظر الخاصة بالقطوع المكافئة، وفي القطوع المخروطية.

توطئةمنتصف القطعة المستقيمة

منتصف القطعة المستقيمة التي طرفاها $P_1 = (x_1, y_1)$ و $P_2 = (x_2, y_2)$ هو النقطة $M$ الآتية، وطول كل من نصفيها يساوي نصف المسافة $d(P_1, P_2)$ .

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

البرهان

$x_M - x_1 = \dato{t}{x_2 - x_M}$
لتكن $M = (x_M, y_M)$ المنتصف. المستقيمات الموازية للمحور الرأسي المرسومة من $P_1$ و $M$ و $P_2$ تقطع المحور الأفقي في $x_1$ و $x_M$ و $x_2$ . وبحسب مبرهنة طاليس، الحقيقة الرابعة من الحقائق المقبولة، وبما أن $M$ على بعدين متساويين من $P_1$ ومن $P_2$ ، فإن القطع التي تحددها هذه المتوازيات على المحور متساوية أيضًا، ومن ثمّ تقع $x_M$ في منتصف المسافة بين $x_1$ و $x_2$ (وإذا كان $x_1 = x_2$ ، تطابقت الفواصل الثلاث وكانت المساواة مباشرة).
$x_M - x_1 = \resaltar{x_2 - x_M} \rightarrow x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
نعزل فاصلة $M$ .
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$
وبالمستقيمات الموازية للمحور الأفقي نستدل بالطريقة نفسها على المحور الرأسي.
$d(P_1, M) = \sqrt{\left(\frac{x_2 - x_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_2 - y_1}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}d(P_1, P_2) = d(M, P_2)$
تحقق بصيغة المسافة: فروق الإحداثيات بين $P_1$ و $M$ هي نصف الفروق بين $P_1$ و $P_2$ ، والأمر نفسه بين $M$ و $P_2$ .

مثالالمسافة بين نقطتين

احسب المسافة بين النقطتين $P_1 = (1, 1)$ و $P_2 = (5, 4)$ .

البرهان

$\Delta x = 5 - 1 = \dato{a}{4}, \quad \Delta y = 4 - 1 = \dato{b}{3}$
طولا الضلعين القائمين في المثلث القائم هما فرق الفاصلتين وفرق الترتيبتين.
$d^2 = \resaltar{4}^2 + \resaltar{3}^2 = 25$
بحسب مبرهنة فيثاغورس، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين.
$d(P_1, P_2) = 5$
المسافة هي الجذر التربيعي الموجب.

في بقية هذا الدرس

ميل المستقيم
معادلة المستقيم
المستقيمات المتوازية والمتعامدة
تقاطع مستقيمين
مسائل محلولة
المستقيم المار بنقطتين
المسافة بين نقطة ومستقيم
هوائي على أبعاد متساوية من ثلاث بلدات
عائلة من المستقيمات
ارتفاعات المثلث تتقاطع في نقطة واحدة
مسائل مقترحة
نظيرة نقطة
ثلاث باقات للهاتف المحمول
منتصف الوتر
محور القطعة بوصفه محلًا هندسيًا
حزمة من المستقيمات