الأعداد الطبيعية ومسلّمات بيانو

مسلّمات بيانو للأعداد الطبيعية

الأعداد الطبيعية، وتسمى أيضًا الأعداد الصحيحة الموجبة، هي الأعداد التي نستعملها للعدّ والقياس. وهي تظهر على أكثر الوجوه طبيعيةً في عملية العدّ، أبسط عمليات الحساب. وتُعرَّف بواسطة مسلّمات بيانو: يُسلَّم بوجود مجموعة يُرمز إليها بالرمز $\mathbb{N}$ وتسمى عناصرها أعدادًا طبيعية، فيها عنصر مميَّز هو $1$، ودالة $S$ تسمى التالي، تُسند إلى كل عدد طبيعي $n$ عددًا طبيعيًا آخر $S(n)$، ويُسلَّم بأن المسلّمات الخمس الآتية متحققة. أما مفاهيم المجموعة والدالة والدالة التباينية التي تدخل فيها فتُعرَّف في الدرس الخاص بـالمجموعات والعلاقات والدوال.

1. $1$ عدد طبيعي: $1 \in \mathbb{N}$.
2. $S$ دالة من $\mathbb{N}$ إلى $\mathbb{N}$: إذا كان $n$ عددًا طبيعيًا فإن تاليه $S(n)$ عدد طبيعي أيضًا.
3. $1$ ليس تاليًا لأي عدد طبيعي: $S(n) \neq 1$ لكل $n$ من $\mathbb{N}$.
4. $S$ تباينية: إذا كان $S(n) = S(m)$ فإن $n = m$.
5. إذا كانت مجموعة $A$ من الأعداد الطبيعية تحوي $1$، وكانت لكل $k$ من $A$ تحوي أيضًا $S(k)$، فإن $A$ هي مجموعة كل الأعداد الطبيعية: $A = \mathbb{N}$.

عند دراسة مسلّمات بيانو نلاحظ أن الرمز $1$ ليس إلا تمثيلًا يشير إلى عدد طبيعي معيّن: العدد الذي يحقق هذه الخاصيات. وكما يمثّل $1$ العدد الطبيعي الأول، نستعمل رموزًا مألوفة لدينا لتمثيل تواليه:

وهكذا فإن الرموز $2, 3, 4, \ldots$ كائنات مجردة تمثّل التوالي المتعاقبة للعدد $1$. والتجمّع المكوّن من $1$ ومنها جميعًا هو مجموعة الأعداد الطبيعية:

ويقال أيضًا إن الأعداد الطبيعية تنتظم في متتالية، هي متتالية الأعداد الطبيعية: