الأشكال الناظمية

في الدروس السابقة من هذه الوحدة أُعطيت الصيغ معنى: فالدرس عن دلالات منطق القضايا مدّ كل إسناد إلى جميع الصيغ؛ والدرس عن النتيجة الدلالية والتكافؤ الدلالي عرّف التكافؤ $\varphi \eqsem \psi$ وبرهن الإبدال الدلالي؛ والدرس عن قوانين دي مورغان وقوانين التوزيع المعمّمة مدّ تلك القوانين إلى عطوف وفصول من $n$ صيغة؛ والدرس عن التمام الوظيفي بيّن أن كل دالة صدق تمثّلها صيغة ما. غير أن دالة الصدق الواحدة تمثّلها صيغ لا نهاية لعددها، قد يختلف بعضها عن بعض اختلافًا كبيرًا: $(v_1 \rightarrow v_2)$ و$\neg(v_1 \wedge \neg v_2)$ و$(((v_1 \downarrow v_1) \downarrow v_2) \downarrow ((v_1 \downarrow v_1) \downarrow v_2))$ ثلاثة أسماء لشيء واحد. وإذا كان الأمر كذلك، فمن المناسب أن يُختار في كل صنف تكافؤ ممثّل ذو شكل ثابت، يُقرأ بلا عناء وتُجاب به بعض الأسئلة بمجرد النظر. تلك هي الأشكال الناظمية.

الحرفيات والعبارات والأشكال الناظمية

لنتذكّر، من الدرس عن القوانين المعمّمة، ترميز العطف والفصل لـ$n$ صيغة، المعرَّف بالتعاود مع التجميع من اليسار؛ وعطف صيغة واحدة وفصلها هما الصيغة نفسها.

وفي الدرس نفسه بُرهن أن ترتيب الحدود وتجميعها لا يغيّران الصيغة إذا عُدّت الصيغ المتكافئة واحدة (التجميعية المعمّمة والاستقلال عن الترتيب وعن التكرار)؛ ولذلك سنكتب أيضًا $\varphi_1 \wedge \varphi_2 \wedge \cdots \wedge \varphi_n$ بلا أقواس، على أن يُفهم التجميع من اليسار.

الحرفية متغير $v_n$، ويسمّى حرفية موجبة، أو نفي $\neg v_n$ لمتغير، ويسمّى حرفية سالبة. والحرفية المقابلة لحرفية $\ell$، التي نكتبها $\ell^{*}$، هي حرفية المتغير نفسه ذات الإشارة الأخرى:

ويلزم عن التعريف أن $(\ell^{*})^{*} = \ell$. وتشكّل حرفيتان زوجًا متتامًّا إذا كانت إحداهما مقابلة الأخرى، مثل $v_3$ و$\neg v_3$.

العبارة فصل لحرفيات، $\bigvee_{j=1}^{k} \ell_j$، والعطف الأولي عطف لحرفيات، $\bigwedge_{j=1}^{k} \ell_j$، مع $k \geq 1$ في الحالتين؛ فالحرفية الواحدة إذن عبارة وعطف أولي في آن واحد. ويقال إن حرفية ترد في عبارة أو في عطف أولي إذا كانت إحدى $\ell_j$ فيهما.

تكون الصيغة في الشكل الناظمي الفصلي إذا كانت فصلًا لعطوف أولية، وفي الشكل الناظمي العطفي إذا كانت عطفًا لعبارات؛ أي إذا كانت، على الترتيب، على أحد الشكلين التاليين، حيث $m$ و$k_1, \ldots, k_m$ عددان طبيعيان وكل $\ell_{i,j}$ حرفية:

سنقول إن $\Phi$ شكل ناظمي فصلي للصيغة $\varphi$ إذا كانت في الشكل الناظمي الفصلي وكان $\varphi \eqsem \Phi$، والأمر نفسه في العطفي. ويمكن أن تتغيّر الأطوال $k_i$ من عطف (أو عبارة) إلى آخر: فاشتراط عدد واحد من الحرفيات في الجميع يُلزم بالحشو بالتكرارات ولا يضيف شيئًا.

ومن المناسب التوقف عند معنى «أن تكون الصيغة في شكل ناظمي». إنها خاصية لسلسلة الدوائر والأقراص، لا لمعناها: فالدرس عن الاستقراء على الأعداد الطبيعية وعلى الصيغ برهن القراءة الوحيدة، فيكون للسؤال عمّا إذا كانت الصيغة فصلًا، وفصلًا لماذا، جواب واحد. غير أن الاختصارات المعتمدة تجعل بعض الصيغ في شكل ناظمي من غير أن تبدو كذلك. فالاستلزام $(v_1 \rightarrow v_2)$ يُعرَّف بأنه $(\neg v_1 \vee v_2)$: لا لأنه يكافئ تلك العبارة، بل لأنه السلسلة نفسها، فهو إذن في شكل ناظمي أصلًا. والأدعى إلى الدهشة النفي المزدوج. فبحسب تعريفي $\neg$ و$\vee$، السلسلة $(\varphi \vee \varphi)$ هي $\neg(\varphi \downarrow \varphi)$، أي $\neg\neg\varphi$؛ ومن ثمّ فإن $\neg\neg v_1$ ليست حرفية، لكنها، حرفًا بحرف، العبارة $(v_1 \vee v_1)$.

قيمة العطوف والفصول

من الدرس عن الدلالات تؤخذ قيم الروابط المشتقة: $v(\neg\varphi) = 1 - v(\varphi)$؛ و$v(\varphi \wedge \psi) = v(\varphi)\,v(\psi)$، وقيمتها $1$ إذا وفقط إذا كانت قيمة كلتيهما $1$؛ و$v(\varphi \vee \psi) = 0$ إذا وفقط إذا كانت قيمة كلتيهما $0$. والدرس عن قوانين دي مورغان وقوانين التوزيع المعمّمة مدّها إلى $n$ صيغة، بالاستقراء على عدد الحدود، في توطئة القيمة: لكل إسناد $v$، تكون قيمة العطف $\bigwedge_{i=1}^{n} \varphi_i$ هي $1$ عند $v$ إذا وفقط إذا كانت قيمة كل $\varphi_i$ هي $1$ عند $v$، وتكون قيمة الفصل $\bigvee_{i=1}^{n} \varphi_i$ هي $1$ عند $v$ إذا وفقط إذا كانت قيمة إحدى $\varphi_i$ هي $1$ عند $v$. وهذه التوطئة، التي تُذكر هنا دون إعادة برهانها، هي الأداة التي تُحسب بها قيمة أي شكل ناظمي.

من السهل أن تفوت الحالة الثانية: عند نفي شكل ناظمي يميل المرء إلى كتابة $\neg\ell_{i,j}$ مكان حرفية، و$\neg\neg v_n$ ليست حرفية. والنفي المزدوج هو الذي يعيد النتيجة إلى القالب.