伽利略变换的公式

牛顿物理学基于通过伽利略变换建模的相对性原理，其中时间被确定为所有惯性观察者的通用坐标；即：t=t^\prime。在此声明下，从两个惯性参考系S和S^\prime的观测结果之间的线性变换在特殊相对论原理课上审查时呈现线性变换形式：

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array} [1]

当惯性系S和S^\prime处于标准配置并且S^\prime相对于S以速度v_{ss^\prime_x}\hat{x}运动时，它呈现以下形式

\begin{array}{rlr} {}t^\prime &= t \\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x}t \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array} [2]

逆变换

从一种代数对称性出发，我们可以写出逆变换：

\begin{array}{rl} t &= t^\prime \\ x &= x^\prime + v_{ss^\prime_x}t \\ y &= y^\prime \\ z &= z^\prime \end{array} [3]

绝对时间和速度之和

从伽利略变换的第一个方程（两个中的任一个，[2]或[3]）可以看出，事件的时间坐标不依赖于观察它的框架，而第二个方程允许获得通常理解为与速度之和相关的“常识”。如果一个粒子沿S的\hat{x}轴以恒定速度v_{ss^\prime_x}移动，则它在S^\prime中的速度由下式确定

\displaystyle v^\prime_x = \frac{dx^\prime}{dt^\prime} = \frac{dx^\prime}{dt} = \frac{d}{dt}\left(x - v_{ss^\prime_x} t \right) = v_x - v_{ss^\prime_x}

在这个最后的表达式中推导出，任何粒子的加速度在S和S^\prime中是相同的，即：dv^\prime_x/dt^\prime = dv_x/dt。

伽利略时空几何

如果我们考虑两个事件A和B，它们分别有坐标(t_A,x_A,y_A,z_A)和(t_B,x_B,y_B,z_B)。不难看出，量\Delta t = t_B - t_A和\Delta r^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2在伽利略变换下分别是不变的，这使我们将空间和时间视为分开的实体。另一方面，\Delta r^2表明这是空间本身的几何属性。我们将\Delta r^2识别为欧几里得空间中事件之间距离的平方。这定义了牛顿力学背景下的时空几何。

伽利略相对性和物理定律

应用于牛顿动力学

在前一节中，我们看到，在牛顿物理学的背景下，任何两个不同的惯性参考系总是会观察到相同的加速度。这与牛顿的第二定律结合起来，意味着所有的惯性参考系总会观察到相同的动力学。即：

\displaystyle F_x = m\frac{dv_x}{dt}= m\frac{dv^\prime_x}{dt^\prime} = F^\prime_x.

这个最后的表达式告诉我们在进行伽利略变换时物理不会改变，这相当于说：对所有惯性观察者来说，物理是相同的。

应用于波的传播

尽管在惯性观察者发生变化时物理的持久性是预期的，首先是因为这是我们在移动时观察到的，其次是因为这是通过之前的计算获得的，但并非总是如此。不在伽利略变换下保持的现象中最著名的案例是波的传播；通常，模拟空间和时间中波\psi传播的方程是这种形式

\displaystyle \nabla^2 \psi = \frac{1}{v_0^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} [4]

其中v_0是波的传播速度。

伽利略变换对波传播有什么影响？

对此，有一个简短和一个长的答案。简短的答案是，“即使观察到相同的现象，不同的惯性观察者也会看到‘不同的物理’”。长答案涉及到检查波传播方程在应用伽利略变换时如何改变；为此，我们首先取方程[4]并在其每个坐标上展开，获得：

\displaystyle \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v_0^2} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial t^2}. [5]

手头有了这个方程，我们现在必须使用 [3] 中的方程来重新表达另一个惯性框架中的导数。

一阶导数的变换

遵循 [3] 中的表达式，并对每个变量相对于撇号变量求导，我们得到：

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial y}= \frac{\partial z^\prime}{\partial z}= \frac{\partial t^\prime}{\partial t}= 1

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial t} = - v_{x_0}

而所有其他的导数都为零：

\displaystyle \frac{\partial t^\prime}{\partial x} = \frac{\partial t^\prime}{\partial y} = \frac{\partial t^\prime}{\partial z} = \frac{\partial x^\prime}{\partial y} = \frac{\partial x^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial t} = \frac{\partial z^\prime}{\partial x} = \frac{\partial z^\prime}{\partial y} = \frac{\partial z^\prime}{\partial t} = 0

有了这些，我们现在可以通过链式法则计算 \psi 的导数：

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial x}}_{=1} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime} \underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime} \underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial x}}_{=0} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}.

同样地，对于其他两个空间变量：

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}.

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial z} = \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}.

然而，时间导数将会显示一些差异：

\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t} &= \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}\underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial t}}_{=-v_{x_0}} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}\underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}\underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}\underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial t}}_{=1}\\ &=\displaystyle -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}, \end{array}

二阶导数的变换

对于空间部分，我们可以继续没有太大困难，结果是：

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2}. [6]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} [7]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} [8]

但是从一阶导数就可以预见，时间部分将显示较大的差异：

\begin{array}{rl} \displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &=\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\left( -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ & \displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) \end{array}

\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2}. [9]

应用伽利略变换到波的传播

因此，可以通过用方程[6，7，8]和[9]替换[5]，来对波的传播方程进行伽利略变换，结果如下：

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} = \frac{1}{v_0^2} \left(\color{red}{ v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime}} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2} \right). [10]

可以观察到，在伽利略变换下，波的传播形式由于红色标记的额外项的出现而不成立。尽管现在这还没有重大后果，但在未来的课程中，我们将看到这正是与经典物理“断裂”的关键点，为特殊相对论铺路。