El referencial inercial

A la hora de hacer física siempre es posible elegir el marco de referencia desde el cual se medirán los eventos, y estos marcos pueden diferir tanto en orientación como en movimiento relativo. De entre todos los marcos referenciales posibles hay una clase especial que nos permite hacer la física como la conocemos, estos son los marcos referenciales inerciales. Se dice que un marco de referencia es inercial cuando en él se satisface la primera ley de Newton, la cual establece que en ausencia de agentes externos, las partículas preservan su estado de movimiento y por lo tanto:

\displaystyle \frac{dx^2}{dt^2} = \frac{dy^2}{dt^2} = \frac{dz^2}{dt^2} = 0.

De esto se sigue que, en ausencia de gravedad, si dos marcos S y S^\prime son inerciales, entonces S^\prime sólo puede diferir de S en:

• Una traslación,
• Una rotación,
• Un movimiento relativo entre ambos marcos con velocidad constante.

El concepto de marco inercial es fundamental para el principio de relatividad, el cual establece que las leyes de la física tienen la misma forma en todos los marcos inerciales. Este principio aplica de igual forma, tanto en la física newtoniana como en la relatividad especial.

El principio de relatividad en la física newtoniana y en la relatividad especial

Las descripciones newtonianas y de la relatividad especial difieren en cómo las coordenadas de un evento, relativa a un sistema inercial, se relaciona con las de otro sistema inercial.

Consideremos dos marcos inerciales cartesianos S y S^\prime en «configuración estándar», es decir, donde S^\prime se mueve a lo largo del eje \hat{x} de S a una velocidad constante \vec{v}_{ss^\prime} = v_{ss^\prime_x} \hat{x} y los respectivos ejes de S y S^\prime están alineados y coinciden en t=t^\prime = 0.

Entonces se tiene que, si existe una transformación lineal que relacione las coordenadas de un evento visto desde S y S^\prime, entonces éstas están relacionadas a través del siguiente sistema de ecuaciones lineales

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array}\;\;\;[\triangle]

donde A, B, D y E son constantes a determinar.

Simplificando las transformaciones entre referenciales inerciales

Estas transformaciones pueden ser simplificadas si hacemos las siguientes observaciones:

• Dado que las transformaciones deben cumplirse para cualquier x^\prime, entonces se tiene que si colocamos el evento sobre el origen de S^\prime, se tendrá que x^\prime =0. Esto implica que el evento se moverá junto a S^\prime y su posición respecto de S será x=v_{{ss^\prime}_x}t.

  Remplazando x=v_{{ss^\prime}_x}t. sobre la segunda ecuación de [\triangle] se tendrá que D=-Ev_{{ss^\prime}_x}.

  De forma análoga, las transformaciones también se cumplen para cualquier x, por lo que si colocamos el evento sobre el origen de S, se tendrá que mirado desde S^\prime, tiene posición x^\prime = -v_{{ss^\prime}_x}t^\prime.

  Remplazando esto sobre la primera y segunda ecuación de [\triangle] se llega a que t^\prime=At y -v_{{ss^\prime}_x}t^\prime =Dt. Dividiendo estas dos igualdades se concluye que D=-v_{{ss^\prime}_x}A.

• De este modo, la única forma de conciliar los puntos anteriores es imponiendo que A=E,, y con esto las transformaciones se reducen a:

  \begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= A(x - v_{ss^\prime_x} t), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}\;\;\;[2]

Transformaciones de Lorentz y Galileo

Para el caso de la física de Newton tenemos la relatividad de Galileo, en que el tiempo transcurre de la misma forma para todos los referenciales inerciales y por lo tanto t=t^\prime. Como consecuencia de esto se tiene que A=1 y B=0. Esto conduce a las conocidas transformaciones de Galileo que permite transformar las observaciones entre dos referenciales inerciales

\begin{array}{rl} t^\prime &= t\\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x} t, \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}\;\;\;[3]

Por otro lado, en el caso de la física relativista tenemos el principio de Relatividad de Einstein, que considera en su lugar es la velocidad de la luz en el vacío lo que es igual en todos los referenciales inerciales. Esto conduce a las conocidas Transformaciones de Lorentz de la relatividad especial y que como veremos en entradas posteriores, toma la siguiente forma:

\begin{array}{rl} ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array}

donde \beta_x=v_{ss^\prime_x}/c y \gamma= 1/\sqrt{1-\beta_x^2}.

Conclusiones

El Principio de Relatividad no solo revoluciona nuestra comprensión del universo, sino que también desafía nuestras percepciones más fundamentales sobre el tiempo y el espacio. A través del análisis de los marcos referenciales inerciales, hemos visto cómo las leyes de la física mantienen su forma constante, independientemente del observador, tanto en la física newtoniana como en la relatividad especial. Las transformaciones de Lorentz y Galileo ilustran de manera única las diferencias sutiles y profundas entre estos dos enfoques. Este principio, que se sostiene en el corazón de la física moderna, no solo es esencial para la comprensión teórica de fenómenos físicos sino también para aplicaciones prácticas que van desde la tecnología de GPS hasta la exploración espacial. Al desentrañar las complejidades del Principio de Relatividad, nos acercamos un paso más a comprender la intrincada tela del cosmos y nuestro lugar dentro de él.