自然数与Peano公理
摘要
这节课讲述了自然数以及它们是如何通过Peano公理来定义的：一系列建立其基本性质的数学原则。它还解释了如何使用符号来表示自然数的后续数，如何符号化地表示它们，以及如何使用数学归纳法进行归纳证明。
学习目标
- 理解 Peano公理对自然数的阐述。
- 理解 自然数的符号表示的制定。
目录
皮亚诺公理与自然数
所谓的自然数，也被称为正整数，是我们用来计数和测量的数。在算术中最简单的操作是计数。这些数字是通过皮亚诺公理定义的，这是一系列建立这些数字如何工作的数学原则。
- “1“是一个自然数
- 如果n是自然数，那么它的后继S(n)也是。
- “1“不是任何自然数的后继。
- 如果S(n) = S(m)，那么n=m。
- 如果1属于某个集合A；并且给定一个在A中的任意k，S(k)也在A中，那么A就是自然数的集合，表示为\mathbb{N}。
当我们研究皮亚诺的公理时，我们意识到符号”1“实际上只是一个表示符号，用于指代一个特定的自然数。这个数字满足这些属性。就像1表示”第一个自然数”，我们也使用符号（对我们来说是熟悉的）来表示它的后继。
- 2=S(1)
- 3=S(2)
- 4=S(3) \\ \vdots
依此类推。这样，符号1, 2, 3, 等等… 实际上是代表1的不同后继的抽象实体。所有这些对象的集合就是自然数，我们通过以下方式表示它们:
\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots \}
我们也说自然数按照顺序排列，即自然数的顺序:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots
自然数的归纳原理
自然数的一个重要特点是，每一个数字后面都有一个数字，这意味着有无限的自然数。我们可以从第五公理，或归纳原理，来感知这一点，它的表述如下：
如果一个性质对于1成立；如果承认它对于任何自然数k都成立，那么它对于下一个S(k)也成立；那么这个性质对于所有自然数都成立。
归纳原理不仅为自然数提供了一个基础，而且是一个有用的工具，用来证明自然数的某个性质是否成立。为了查看这一点，让我们看一个简单的例子：
示例： 通过归纳原理，我们可以证明每个自然数都与其后继不同。 |
虽然这是显而易见的，但它有助于理解当通过归纳法证明时的步骤。 证明
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关于证明的评论
尽管示例中所陈述的属性非常明显，但在数学中，证明通常不会保持这种明显性。我们刚刚看到的这个证明是一个例子，展示了在进行数学工作时通常会做什么。为了帮助你理解数学特有的推理技术，我建议你查看为数学逻辑课程提供的材料。