Тепловое равновесие, температура и её статистическое определение
Термодинамическая температура, понимаемая как связь между энергией и вероятностью, возникает из равновесия между макросостояниями и микросостояниями в тепловых системах. Этот материал исследует, как максимизация числа микросостояний определяет тепловое равновесие, используя математические выводы и рамки статистической механики для объяснения её связи с постоянной Больцмана и шкалой Кельвина.
Цели обучения:
После завершения этого занятия студент сможет:
- Понять связь между макросостояниями и микросостояниями в термодинамических системах и концепцию температуры.
СОДЕРЖАНИЕ:
Макросостояния и микросостояния систем в тепловом контакте
Термодинамическая температура: общая характеристика систем в равновесии
Макросостояния и микросостояния систем в тепловом контакте
Для изучения концепции термодинамической температуры, сначала нужно понять, как взаимодействуют термодинамические системы и каковы их связи с макросостояниями и микросостояниями. Рассмотрим случай двух систем, находящихся в тепловом контакте друг с другом, но изолированных от остальной Вселенной.
С одной стороны, так как системы остаются изолированными, полная энергия E=E_1+E_2 будет постоянной, и поэтому макросостояние системы может быть определено одной из трёх энергий: E, E_1 или E_2. С другой стороны, если говорить о микросостояниях, система с энергией E_1 имеет \Omega_1(E_1) микросостояний, а система с энергией E_2 имеет \Omega_2(E_2) микросостояний. Таким образом, объединённая система будет состоять из \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) микросостояний.
Предположения о термодинамическом равновесии
Если каждая система может обмениваться энергией до достижения термодинамического равновесия, то в какой-то момент энергии E_1 и E_2 приблизятся к постоянным значениям. Важно помнить, что макросостояние с наибольшей вероятностью возникновения — это то, которое максимизирует количество микросостояний. Из этого следуют следующие предположения:
- Каждое микросостояние имеет одинаковую вероятность возникновения.
- Внутренняя динамика системы такова, что микросостояния постоянно меняются.
- Через некоторое время система исследует все возможные микросостояния и проведёт одинаковое количество времени в каждом из них.
Эти предположения означают, что система большую часть времени будет находиться в макросостояниях, которые представляют наибольшее количество микросостояний, и, следовательно, они будут наиболее вероятными. В системах, которые обычно изучаются в термодинамике, фраза «наиболее вероятное» на самом деле означает «практически невозможно, чтобы это не произошло». То, что может показаться простым статистическим утверждением, на самом деле является практически абсолютным утверждением.
Термодинамическая температура: общая характеристика систем в равновесии
В случае двух тел, находящихся в тепловом контакте, наиболее вероятное распределение энергии — это то, которое максимизирует количество микросостояний \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2). Так как системы являются большими, мы можем использовать методы дифференциального исчисления как хорошее приближение для вывода свойств и значения этих утверждений.
Если сделать бесконечно малые изменения энергии одной из систем и найти случай, при котором количество микросостояний максимизируется, мы получим следующий вывод:
\begin{array}{rl} (1) & \dfrac{d}{dE_1}\left[ \Omega_1(E_1) \Omega_2(E_2) \right] = 0 \\ & \text{; так как количество микросостояний максимизировано} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1(E_1)}{dE_1} \Omega_2(E_2) + \Omega_1(E_1) \dfrac{d\Omega_2(E_2)}{E_2}\dfrac{dE_2}{dE_1} = 0 \\ & \text{; используя правило произведения и цепное правило} \\ \\ (2) & E = E_1 + E_2 = \text{Константа} \\ & \text{; Полная энергия двух систем в тепловом контакте} \\ \\ \equiv & E_2 = E - E_1 \\ \\ (3) & \dfrac{dE_2}{dE_1} = \dfrac{d}{dE_1} (E - E_1) = -1\;\text{; из (2)} \\ \\ (4) & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1}\Omega_2 - \Omega_1 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} = 0\;\text{; из (1) и (3)} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} \Omega_2 = \Omega_1 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{1}{\Omega_1} \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} = \dfrac{1}{\Omega_2} \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\ln(\Omega_1)}{dE_1} = \dfrac{d\ln(\Omega_2)}{dE_2} \end{array}
Из этого следует, что, так как тепловое равновесие является наиболее вероятным макросостоянием для двух систем в длительном тепловом контакте, оно максимизирует количество микросостояний. Если это происходит, то из вышеприведённого рассуждения следует, что существует общая величина для обеих систем, которую мы называем температурой.
Определение термодинамической температуры
Когда это происходит, мы говорим, что тела «имеют одинаковую температуру» и связываем d\ln\Omega/dE с температурой T (таким образом, T_1 = T_2). Таким образом, термодинамическая температура определяется следующим образом:
\displaystyle \frac{1}{k_B T} = \frac{d\ln\Omega}{dE}
где k_B=1.3807\cdot 10^{-23}[J/K] — это постоянная Больцмана.
С этим выбором постоянной температура T, которую мы определили, получает своё обычное толкование в том, что мы знаем как шкалу Кельвина.