Плоские зеркала, решенные задачи
Резюме:
В этом уроке мы рассмотрим некоторые решенные задачи по плоским зеркалам. Угол отражения \gamma определяется на основе угла \theta между двумя плоскими зеркалами, соединенными петлей, и рассчитываются конкретные примеры. Рассматриваются критические значения \alpha, чтобы луч отражался один раз на каждом зеркале, и проверяется формула для \gamma. Также определяются углы падения, которые заставляют луч возвращаться к себе, рассчитывая последовательность углов возврата \alpha_n = n\theta.
Цели обучения
К концу этого урока студент сможет:
- Понять основные формулы оптики плоских зеркал.
- Применять закон отражения в задачах с плоскими зеркалами.
- Определять угол отражения \gamma на основе угла \theta между двумя плоскими зеркалами.
- Анализировать пределы применимости формул для зеркал и условия их валидности.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Зеркала, соединенные петлей
Проверка пределов рассуждений
Углы возврата
Введение
В предыдущем уроке мы рассмотрели большинство формул, связанных с оптикой плоских и сферических зеркал; однако для лучшего понимания этих тем необходимо рассмотреть их применение в решении задач, связанных с этими темами. Поэтому мы посвятим эту часть исключительно обзору решений некоторых задач. На этот раз мы сосредоточимся исключительно на плоских зеркалах.
Зеркала, соединенные петлей
Два плоских зеркала, соединенные одним концом, образуют угол \theta. Если луч света падает на одно из зеркал под углом \alpha к нормали, так что свет отражается только один раз на каждом зеркале и пересекается с собой, образуя угол \gamma:
- Найдите формулу для определения угла \gamma в зависимости от других данных.
- Если луч света падает на первое зеркало под углом \alpha=30^o и угол между зеркалами составляет \theta=50^o, каков будет угол \gamma?
- Определяя угол \beta между нормалью второго зеркала и отраженным от первого зеркала лучом, и используя закон отражения в плоских зеркалах, мы можем завершить рисунок следующим образом:
Учитывая это, теперь можно провести следующие рассуждения:(1) (90^o - \alpha) + (90^o - \beta) + \theta = 180^o ; так как сумма внутренних углов треугольника равна 180^o \equiv \alpha + \beta = \theta (2) 2\alpha +2\beta + \gamma = 180 ; так как сумма внутренних углов треугольника равна 180^o \equiv \gamma = 180 - 2(\alpha + \beta) (3) \color{blue}{\gamma = 180 - 2\theta} ; из (1,2) Таким образом, можно сделать вывод, что угол \gamma будет функцией только угла \theta, образованного зеркалами, и его формула будет \gamma(\theta) = 180^0 - 2\theta
- На основе рассуждений в предыдущей части, мы имеем, что \gamma = 180^o - 2\cdot 50^o = 80^o
Проверка пределов рассуждений
Предыдущее упражнение имеет одну тонкую проблему. Если вы посмотрите на задание, то увидите, что требуется, чтобы луч света отражался только один раз на каждом зеркале; однако, не каждое значение \alpha подходит для этого. Найдите значения \alpha, которые удовлетворяют этому условию и, следовательно, позволяют формуле, полученной в предыдущем упражнении, быть валидной.
Мы имеем, что \alpha достигает «критического» значения, когда оно делает \beta=0^o; и когда это происходит, мы можем взять угол x, который позволяет провести следующие рассуждения:
Должны выполняться следующие два уравнения:
\alpha + x = 90^o
\theta + x = 90^o
И это возможно только если:
\alpha = \theta
То есть: значение \alpha=\theta является критическим углом падения, так что, если оно превышено, то луч будет отражаться более двух раз на одном зеркале и, следовательно, делает формулу, полученную в предыдущем упражнении, недействительной. Основываясь на этих результатах, мы можем исправить результат предыдущего упражнения следующим образом:
\gamma(\theta, \alpha) = 180^0 - 2\theta \;\;\;\; ; \;\;\;\; \alpha \in ]0,\theta[
Углы возврата
Из этих результатов можно увидеть, что, для некоторых углов падения, луч света возвращается к себе. Это происходит, когда \alpha = 0^o или когда \alpha = \theta, где \theta является углом, образованным между двумя плоскими зеркалами. Существуют ли еще углы возврата? и если существуют, как их можно рассчитать?
РЕШЕНИЕЧтобы решить эту проблему, мы должны представить себе ситуацию, когда луч света падает на первое зеркало под углом к нормали \alpha\in ]\theta, 180^o[. Когда это происходит, у нас есть ситуация, как показано на следующем рисунке:
Так как сумма внутренних углов треугольника равна 180^o:
(90^o - \alpha) + (90^o + \beta) + \theta = 180
Упрощая это уравнение, мы можем получить угол \beta в терминах \alpha и \theta.
\beta=\alpha - \theta
Это выражение важно, потому что, если \beta=\theta, то, по рассуждениям предыдущего упражнения, луч должен вернуться к себе при следующем отражении. Таким образом, \alpha=2\theta. Следовательно, это рассуждение можно расширить индуктивно через:
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{n-1} = \alpha_n - \theta
И на основе этого у нас есть последовательность углов возврата:
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{2} = 2\theta
\vdots
- \alpha_{n} = n\theta
Кроме того, следует отметить, что как угол между плоскими зеркалами, так и каждый из углов падения должны быть острыми.