Области целостности и целые числа

Резюме:
В этом уроке вводится понятие области целостности, объясняется его значение в изучении общей алгебры и приводятся строгие доказательства некоторых из его наиболее важных свойств.

Цели обучения:
После завершения этого урока студент сможет:

1. Понять цель изучения общей алгебры.
2. Понять понятие области целостности.
3. Объяснить основные общие свойства областей целостности и целых чисел.
4. Доказывать основные свойства областей целостности с помощью строгих доказательств.

СОДЕРЖАНИЕ
ЦЕЛЬ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗНАНИЯ
ОТ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ К ОБЛАСТЯМ ЦЕЛОСТНОСТИ
ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОБЛАСТЕЙ ЦЕЛОСТНОСТИ И ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
СВОЙСТВА ОБЛАСТЕЙ ЦЕЛОСТНОСТИ И ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
УПРАЖНЕНИЯ

Цель общей алгебры и предварительные знания

Основная цель общей алгебры — изучение всего множества возможных математических систем. Здесь мы рассмотрим несколько таких систем, среди которых одними из самых важных являются натуральные и целые числа, а через последние мы придем к областям целостности.

\mathbb{N}= \{1,2,3,4,\cdots\}

\mathbb{Z}= \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\cdots\}

От целых чисел к областям целостности

Начнем наше изучение с целых чисел, и причина такого подхода заключается в том, что они обладают наибольшим количеством сходств с большинством числовых систем, которые мы рассмотрим в этом курсе.

Вместо того чтобы пытаться дать определение целых чисел, мы начнем с предположения, что, какими бы они ни были, они удовлетворяют определенным свойствам. Для этого выбирается набор аксиом таким образом, чтобы можно было вывести все свойства, которые мы интуитивно связываем с целыми числами.

Все это осуществляется через аксиомы Пеано для натуральных чисел с введением основных арифметических операций. Следуя этому аксиоматическому методу и расширяя различные операции с натуральными и целыми числами, получают новые числовые множества, такие как рациональные, иррациональные, действительные, комплексные числа, кватернионы, октанионы и так далее.

Затем, если мы рассмотрим целые числа, то увидим, что они обладают свойствами, которые повторяются во всех других числовых множествах, такими как существование мультипликативного нейтрального элемента, аддитивного нейтрального элемента и дистрибутивные законы. Таким образом, ссылаясь на эти свойства, мы можем разработать язык, который позволит нам говорить обо всех этих множествах одновременно. В этом контексте появляются такие термины, как:

• Область целостности
• Кольцо
• Группа
• Векторное пространство

И множество других подобных понятий. Мы сосредоточим наши усилия на изучении прежде всего областей целостности.

Основные общие свойства областей целостности и целых чисел

Чтобы объяснить, что такое область целостности, мы воспользуемся свойствами, которые хорошо понимаем на примере целых чисел. В этом контексте, если a, b и c — целые числа, то выполняются следующие законы:

1. Коммутативные:
   • a+b = b + a
   • ab = ba
2. Ассоциативные:
   • a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c
   • (ab)c = abc = a(bc)
3. Дистрибутивные:
   • a+(b+c) = a(b+c) = ab+ac

Кроме того, существуют определенные особые элементы, известные как нейтральные.

• Аддитивный нейтральный элемент: a+ c = a \leftrightarrow c=0
• Мультипликативный нейтральный элемент: ac = a \leftrightarrow c=1

Объект, обозначаемый символом 0, является аддитивным нейтральным элементом, а объект, обозначаемый символом 1, является мультипликативным нейтральным элементом.

Целые числа также обладают аддитивными обратными элементами. Каждому целому числу соответствует аддитивный обратный элемент, который при сложении с ним дает аддитивный нейтральный элемент.

• Аддитивный обратный элемент: a+ c = 0 \longleftrightarrow c=-a

Аддитивные обратные элементы распознаются по знаку «-«.

И, наконец, существует закон сокращения, который выражается следующим соотношением:

(c\neq 0 \wedge ca = cb) \longleftrightarrow (a=b)

Рассмотренные нами свойства выполняются для множества других числовых структур: действительных чисел, комплексных чисел, многочленов и так далее. Таким образом, мы называем Областью целостности все множества, удовлетворяющие этим свойствам.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Областью целостности называется любое множество D, снабженное операциями сложения и умножения, такими что:

• a,b\in D \longrightarrow a+b \in D
• a,b\in D \longrightarrow ab \in D

Кроме того, выполняются ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные законы, D содержит аддитивные и мультипликативные нейтральные элементы (каждый из них уникален), и, наконец, выполняется закон сокращения.

Пример области целостности

Рассмотрим множество A=\{a+b\sqrt{3}\; |\; a,b\in \mathbb{Z}\}. Это множество, снабженное обычными операциями сложения и умножения, является областью целостности, поскольку удовлетворяет законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, содержит аддитивный и мультипликативный нейтральные элементы, а также обладает аддитивным обратным элементом.

• Аддитивный нейтральный элемент: 0+0\sqrt{3}
• Мультипликативный нейтральный элемент: 1+0\sqrt{3}
• Аддитивный обратный элемент: Для любого элемента a+b\sqrt{3} аддитивный обратный элемент равен -a-b\sqrt{3}

И самое важное: множество A замкнуто относительно операций сложения и умножения, в том смысле, что если взять x,y\in A, то выполняются условия x+y\in A и xy\in A. Это легко проверить: если a_1 + b_1\sqrt{3} и a_2 + b_2\sqrt{3} — элементы A, то:

\begin{array}{rl} (a_1 + b_1\sqrt{3}) + (a_2 + b_2\sqrt{3}) &=(a_1+a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{3} \in A\\ \\ (a_1 + b_1\sqrt{3}) (a_2 + b_2\sqrt{3}) &= a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{3}+b_1a_2\sqrt{3} + 3b_1b_2 \\ &=(a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{3} \in A \end{array}

Свойства областей целостности и целых чисел

Аддитивный нейтральный элемент области целостности единственен

Это можно доказать методом доказательства от противного:
Предположим, что существуют два аддитивных нейтральных элемента, пусть 0 и 0^\prime — такие элементы. Тогда:

\begin{array}{rll} (1) & 0\neq 0^\prime & \text{; Предположение}\\ (2) & a+0 = a & \text{; Предположение: $0$ — аддитивный нейтральный элемент}\\ (3) & b+0^\prime = b & \text{; Предположение: $0^\prime$ — аддитивный нейтральный элемент}\\ (4) & 0^\prime + 0 = 0^\prime & \text{; Подстановка $a=0^\prime$ в $(2)$}\\ (5) & 0 + 0^\prime = 0 & \text{; Подстановка $b=0$ в $(3)$}\\ (6) & 0 = 0^\prime & \text{; Из $(4,5)$ и коммутативности сложения}\\ (7) & \bot &\text{; Из $(1,6)$} \end{array}

Из этого рассуждения делаем вывод:

\{0 \neq 0^\prime, a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash \bot.

Следовательно, методом доказательства от противного получаем:

\{a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash 0 = 0^\prime.

То есть, если есть два аддитивных нейтральных элемента, то они совпадают, и, следовательно, такой элемент единственен.

Мультипликативный нейтральный элемент также единственен

Доказательство практически аналогично предыдущему.
Если бы существовало два таких элемента: 1 и 1^\prime, то можно было бы рассмотреть следующее рассуждение:

\begin{array}{rll} (1) & 1\neq 1^\prime & \text{; Предположение}\\ (2) & 1\cdot a = a & \text{; Предположение: $1$ — мультипликативный нейтральный элемент}\\ (3) & 1^\prime \cdot b = b & \text{; Предположение: $1^\prime$ — мультипликативный нейтральный элемент}\\ (4) & 1\cdot 1^\prime = 1^\prime & \text{; Подстановка $a=1^\prime$ в $(2)$}\\ (5) & 1^\prime \cdot 1 = 1 & \text{; Подстановка $b=1$ в $(3)$}\\ (6) & 1 = 1^\prime & \text{; Из $(4,5)$ и коммутативности умножения}\\ (7) & \bot &\text{; Из $(1,6)$} \end{array}

Таким образом, мы получаем:

\{1 \neq 1^\prime, 1a= a, 1b = b\}\vdash \bot.

Следовательно, методом доказательства от противного получаем:

\{1a= a, 1b= b\}\vdash 1 = 1^\prime.

То есть, если есть два мультипликативных нейтральных элемента, то они совпадают, и, следовательно, такой элемент единственен.

Выполняется закон сокращения для сложения

Это то, что мы делаем, когда убираем одинаковые слагаемые из равенства:

a+b = a+c \longleftrightarrow b = c

Доказывается это несложно, достаточно выполнить следующее рассуждение:

\begin{array}{rll} (1) & a+b = a+c & \text{; Предположение} \\ (2) & a+b-a = a+c-a & \text{; Из $(1)$, прибавляем $-a$ к обеим частям} \\ (3) & (a-a)+b = (a-a)+c & \text{; Из $(2)$, с учетом коммутативности и ассоциативности} \\ (4) & 0+b = 0+c & \text{; Из $(3)$ и свойства аддитивного обратного элемента} \\ (5) & b = c & \text{; Из $(4)$ и свойства аддитивного нейтрального элемента} \\ \end{array}

Так как это рассуждение можно выполнить в обе стороны, применяя те же шаги, имеем:

a+b=a+c \dashv \vdash b=c

Что эквивалентно следующему утверждению:

\vdash a+b=a+c \longleftrightarrow b=c

Аддитивный нейтральный элемент является также мультипликативным поглотителем

Это просто означает, что для любого a в области целостности выполняется:

a\cdot 0 = 0

Это тоже легко доказать, следуя такому рассуждению:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+0) & \text{; Дистрибутивные законы}\\ (2) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+a-a) & \text{; Из $(1)$ и свойства аддитивного обратного элемента}\\ (3) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot a + a\cdot a - a\cdot a & \text{; Из $(2)$ и дистрибутивности}\\ (4) & a\cdot 0 = a\cdot a - a\cdot a & \text{; Из $(3)$ и сокращения в сложении}\\ (5) & a\cdot 0 = 0 & \text{; Из $(4)$ и свойства аддитивного обратного элемента}\\ \end{array}

Закон знаков:

Произведение чисел с одинаковыми знаками всегда положительно; произведение чисел с разными знаками всегда отрицательно. Доказательство этого свойства также несложно:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot b = a\cdot b + 0 & \text{; Аддитивный нейтральный элемент}\\ (2) & a\cdot b = a\cdot b + (a)\cdot(-b) - (a)\cdot(-b) & \text{; Из $(1)$ и свойства аддитивного обратного элемента}\\ (3) & a\cdot b = a\cdot (b -b) - (a)\cdot(-b) & \text{; Из $(2)$ и свойства аддитивного обратного элемента}\\ (4) & a\cdot b = a\cdot 0 + (-a)\cdot(-b) & \text{; Из $(3)$ и свойства аддитивного обратного элемента}\\ (5) & a\cdot b = (-a)\cdot(-b) & \text{; Из $(4)$ и свойства мультипликативного поглотителя}\\ \end{array}

Следовательно: ab = (-a)(-b)

Для чисел с разными знаками рассуждение аналогично:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + 0 & \text{; Аддитивный нейтральный элемент} \\ (2) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + a \cdot b - a \cdot b & \text{; Из $(1)$ и свойства аддитивного обратного элемента} \\ (3) & a\cdot(-b) = a \cdot (b-b) - a \cdot b & \text{; Из $(2)$ и дистрибутивности} \\ (4) & a\cdot(-b) = a \cdot 0 - a \cdot b & \text{; Из $(3)$ и свойства аддитивного обратного элемента} \\ (5) & a\cdot(-b) = - a \cdot b & \text{; Из $(4)$ и свойства мультипликативного поглотителя} \\ \end{array}

Следовательно: a(-b) = -a(b)

Если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из них равно нулю

Еще одно полезное свойство, которое часто используется:

ab=0 \leftrightarrow (a=0 \vee b=0)

Доказательство также несложное:

\begin{array}{rll} (1) & \{a=0\} \models a\cdot b = 0 & \textbf{; Мультипликативный поглотитель} \\ (2) & \models a=0 \rightarrow a\cdot b = 0 &\text{; TD$(1)$} \\ (3) & \models \neg (a\cdot b = 0 ) \rightarrow \neg(a=0) &\text{; CPI$(2)$} \\ (4) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) &\text{; RTD$(3)$} \\ (5) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(b=0) &\text{; Аналогично $(4)$} \\ (6) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; $\wedge$-интродукция $(4,5)$} \\ (7) & \models (\neg (a\cdot b = 0 )) \rightarrow \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; TD(6)} \\ (8) & \models \neg(\neg(a=0) \wedge \neg(b=0) ) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; CPI(7)} \\ (9) & \models (a=0 \vee b=0) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; DM(8)} \\ (10)& \{a\neq 0 , a\cdot b=0\} \models b=0 & \textbf{; Мультипликативный поглотитель}\\ (11)& \{a\cdot b=0\} \models a\neq 0 \rightarrow b=0 & \text{; TD(10)}\\ (12)& \{a\cdot b=0\} \models \neg(a\neq 0) \vee b=0 & \text{; $\rightarrow$-определение (11)}\\ (13)& \{a\cdot b=0\} \models a=0 \vee b=0 & \text{; DN(12)}\\ (14)& \models (a\cdot b=0) \rightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; TD(13)}\\ (15)& \models (a\cdot b=0) \leftrightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; Из (9,14)} \end{array}

Упражнения

Пусть a, b и c — произвольные элементы области целостности D. Докажите, что выполняются следующие свойства:

1. (-a)=(-1)a [РЕШЕНИЕ]
2. -(a+b)=(-a) + (-b) [РЕШЕНИЕ]
3. a(-b)=-(ab) [РЕШЕНИЕ]
4. -(-a)=a [РЕШЕНИЕ]
5. a(b-c) = ab - ac [ПРЕДЛОЖЕНО]
6. (a-b)+(b-c) = a-c [ПРЕДЛОЖЕНО]
7. Для всех a\in D существует единственный 1, такой что a\cdot 1 = a [РЕШЕНИЕ]
8. xx = x \leftrightarrow (x=1 \vee x=0) [ПРЕДЛОЖЕНО]