Натуральные числа и аксиомы Пеано

РЕЗЮМЕ
Этот урок рассказывает о натуральных числах и о том, как они определяются с помощью аксиом Пеано: ряд математических принципов, которые устанавливают их основные свойства. Также объясняется, как символы используются для представления последователей натуральных чисел, как они символически представлены и использование принципа математической индукции для проведения индуктивных доказательств.

ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

Понимать аксиомы Пеано для формулировки натуральных чисел.
Понимать формулировку символического представления натуральных чисел.

СОДЕРЖАНИЕ

Аксиомы Пеано для натуральных чисел
Принцип индукции на натуральных числах
Комментарии к доказательствам

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Натуральные числа, также известные как положительные целые числа, это те числа, которые мы используем для подсчета и измерения. Они наиболее естественно проявляются в операции подсчета, которая является самой простой из всех арифметических операций. Эти числа определяются посредством аксиом Пеано, ряда математических принципов, которые устанавливают, как эти числа функционируют.

« $1$ » является натуральным числом
Если $n$ натуральное число, то его преемник $S(n)$ также является натуральным.
« $1$ » не является преемником никакого натурального числа.
Если $S(n) = S(m)$ , тогда $n=m$ .
Если $1$ принадлежит некоторому множеству $A$ , и если для любого $k$ в $A$ , $S(k)$ также находится в $A$ , тогда $A$ является множеством натуральных чисел и обозначается $\mathbb{N}$ .

Изучая аксиомы Пеано, мы понимаем, что символ « $1$ » на самом деле является лишь представлением, используемым для указания конкретного натурального числа. Это число соответствует этим свойствам. Так же, как $1$ представляет «первое натуральное число», мы также используем символы (которые знакомы нам) для представления его преемников.

$2=S(1)$
$3=S(2)$
$4=S(3) \\ \vdots$

и так далее. Таким образом, символы $1$ , $2$ , $3$ и т. д. являются абстрактными сущностями, представляющими различных преемников $1$ . Коллекция всех этих объектов — это натуральные числа, и мы представляем их через:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots \}$

Также говорят, что натуральные числа упорядочены в последовательность, последовательность натуральных чисел:

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots$

Принцип индукции в натуральных числах

Важной особенностью натуральных чисел является то, что всегда есть число после каждого, что означает, что существует бесконечно много натуральных чисел. Мы можем догадаться об этом из пятого аксиомы или принципа индукции, который выражается следующим образом:

Если свойство верно для $1$ ; и если предположить, что это верно для любого натурального $k$ , это также верно для следующего $S(k)$ ; тогда это свойство верно для всех натуральных чисел.

Принцип индукции обеспечивает, кроме основы для натуральных чисел, это полезный инструмент для доказательства свойства натуральных чисел. Давайте рассмотрим простой пример:

ПРИМЕР: С помощью принципа индукции можно доказать, что каждое натуральное число отличается от своего последователя.

Хотя это очевидно, это помогает понять, как процедура доказательства через индукцию.

Доказательство:

Очевидно, что $1$ отличается от $S(1)=2$ . Это начальный шаг, где мы проверяем, что свойство выполняется для первого элемента.
Предположим, что свойство выполняется для любого $k$ , то есть $k\neq S(k)$ , что мы будем делать, так это доказывать, что это подтверждает также для $S(k)$ (то есть это подтверждает также, что $S(k)\neq S(S(k))$ . Это индуктивный шаг. Если эти два шага выполнены, то говорится, что индукция полная и свойство выполняется для всех натуральных чисел.
[1] Для начала отметим, что $S(k) \neq k,$ эквивалентно тому, что $\neg [k=S(k)]$ .
[2] Но так как как $k$ , так и $S(k)$ являются натуральными числами, по аксиоме 2 мы можем сказать, что у обоих есть последователи: $S(k)$ и $S(S(k))$ , соответственно. Оба они также являются натуральными числами.
[3] Тогда, по аксиоме 4 мы можем сказать, что: $S(k) = S(S(k))$ подразумевает, что $k = S(k)$ . Это можно записать следующим образом:
$\left[ S(k) = S(S(k)) \right] \rightarrow \left[k = S(k)\right]$
что по контрапозитиву следования, эквивалентно утверждению:
$\neg \left[k = S(k)\right] \rightarrow \neg \left[ S(k) = S(S(k)) \right]$
[4] Наконец, делая modus ponens между этим последним выражением и полученным на шаге [1], у нас есть:
$\neg \left[ S(k) = S(S(k)) \right]$
что то же самое, что сказать
$S(k) \neq S(S(k))$
Следовательно, мы доказали, что если подтвердить, что $S(k) \neq k,$ , тогда также подтверждается, что $S(k) \neq S(S(k))$ ; так как также очевидно, что $1\neq 2$ , индукция полная и можно записать, что
$\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\left(n \neq S(n)\right)$

Комментарий к доказательствам

Хотя свойство, о котором идет речь в примере, достаточно очевидно, в математике часто бывает так, что доказательства не сохраняют эту очевидность. Это доказательство, которое мы только что рассмотрели, является примером того, что обычно делается при математической работе. Чтобы помочь вам понять методы дедукции, которые являются свойственными математике, я рекомендую вам ознакомиться с материалами, предназначенными для курса математической логики.

Просмотры: 168

Натуральные числа и аксиомы Пеано

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Принцип индукции в натуральных числах

Комментарий к доказательствам

Добавить комментарий