Equilíbrio térmico, temperatura e sua definição estatística
A temperatura termodinâmica, entendida como a conexão entre energia e probabilidade, surge do equilíbrio entre macroestados e microestados em sistemas térmicos. Este conteúdo explora como a maximização do número de microestados define o equilíbrio térmico, utilizando deduções matemáticas e o arcabouço da mecânica estatística para explicar sua relação com a constante de Boltzmann e a escala Kelvin.
Objetivos de Aprendizagem:
Ao final desta aula, o estudante será capaz de:
- Compreender a relação entre macroestados e microestados em sistemas termodinâmicos e o conceito de temperatura.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS:
Macroestados e microestados de sistemas em contato térmico
Temperatura termodinâmica: A qualidade comum dos sistemas em equilíbrio
Macroestados e microestados de sistemas em contato térmico
Para abordar o conceito de temperatura termodinâmica, precisamos primeiro analisar como os sistemas termodinâmicos interagem e sua relação com microestados e macroestados. Consideremos o caso de dois sistemas em contato térmico entre si, mas isolados do restante do universo.
Por um lado, já que os sistemas permanecem isolados, a energia total E=E_1+E_2 será constante, e por isso o macroestado do sistema é definido por qualquer uma das três energias E, E_1 e E_2. Por outro lado, ao falarmos de microestados, o sistema com energia E_1 tem \Omega_1(E_1) microestados, e de forma análoga, o sistema com energia E_2 possui \Omega_2(E_2). Assim, o sistema composto será formado por um total de \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) microestados.
Pressupostos sobre o equilíbrio termodinâmico
Se cada sistema puder trocar energia até alcançar o equilíbrio termodinâmico, em algum momento ocorrerá que E_1 e E_2 se aproximarão de valores constantes. A ideia que devemos ter em mente é que o macroestado com maior probabilidade de ocorrer será aquele que maximiza o número de microestados. A partir disso, seguem-se os seguintes pressupostos:
- Cada um dos microestados tem a mesma probabilidade de ocorrer.
- A dinâmica interna do sistema é tal que os microestados estão em constante mudança.
- Após algum tempo, o sistema explorará todos os microestados possíveis e passará a mesma quantidade de tempo em cada um deles.
Esses pressupostos implicam que o sistema passará a maior parte do tempo nos macroestados que representam o maior número de microestados, sendo, portanto, os mais prováveis. Agora, nos sistemas normalmente estudados em termodinâmica, a expressão “mais provável” significa, na prática, “impossível de não ocorrer.” O que pode parecer uma simples afirmação estatística é, na realidade, uma declaração quase absoluta de certeza.
Temperatura termodinâmica: A qualidade comum dos sistemas em equilíbrio
Para o nosso problema de dois corpos colocados em contato térmico, a distribuição mais provável de energia é aquela que maximiza o número \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) de microestados. Como os sistemas são enormes, podemos usar ferramentas de cálculo diferencial como uma boa aproximação para fazer inferências sobre o significado dessas afirmações e deduzir suas propriedades.
Se fizermos variações infinitesimais na energia de um dos sistemas e procurarmos o caso em que o número de microestados é maximizado, obtemos o seguinte raciocínio:
\begin{array}{rl} (1) & \dfrac{d}{dE_1}\left[ \Omega_1(E_1) \Omega_2(E_2) \right] = 0 \\ & \text{; Porque o número de microestados foi maximizado} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1(E_1)}{dE_1} \Omega_2(E_2) + \Omega_1(E_1) \dfrac{d\Omega_2(E_2)}{E_2}\dfrac{dE_2}{dE_1} = 0 \\ & \text{; Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia} \\ \\ (2) & E = E_1 + E_2 = \text{Constante} \\ & \text{; Energia total dos dois sistemas em contato térmico} \\ \\ \equiv & E_1 = E - E_2 \\ \\ (3) & \dfrac{dE_2}{dE_1} = \dfrac{d}{dE_1} (E - E_1) = -1\;\text{; De (2)} \\ \\ (4) & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1}\Omega_2 - \Omega_2 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} = 0\;\text{; De (1) e (3)} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} \Omega_2 = \Omega_1 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{1}{\Omega_1} \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} = \dfrac{1}{\Omega_2} \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\ln(\Omega_1)}{dE_1} = \dfrac{d\ln(\Omega_2)}{dE_2} \end{array}
A partir disso, entendemos que, dado que o equilíbrio térmico é o macroestado mais provável de dois corpos em contato térmico prolongado, este é o que maximiza o número de microestados. Se isso ocorrer, do raciocínio que acabamos de realizar, concluímos que existe uma magnitude comum a ambos os sistemas, que chamamos de temperatura.
Definição da temperatura termodinâmica
Quando isso ocorre, dizemos que os corpos “estão à mesma temperatura” e relacionamos d\ln\Omega/dE com a temperatura T (de modo que T_1 = T_2). Assim, a temperatura termodinâmica é definida como:
\displaystyle \frac{1}{k_B T} = \frac{d\ln\Omega}{dE}
onde k_B=1.3807\cdot 10^{-23}[J/K] é a constante de Boltzmann.
Com essa escolha de constantes, a temperatura T que definimos adquire sua interpretação usual no que conhecemos como a escala Kelvin.