Equação das Hipérboles e sua Dedução
Resumo:
Nesta aula, exploraremos a definição geométrica da hipérbole, contrastando-a com a elipse, e deduziremos sua equação geral e canônica.
Objetivos de Aprendizagem:
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
- Definir geometricamente o que é uma hipérbole.
- Deducir a equação geral e canônica das hipérboles a partir de sua definição geométrica.
- Identificar as diferenças entre as elipses e as hipérboles em termos das distâncias focais.
ÍNDICE DE CONTEÚDOS
Definição Geométrica de Hipérbole
Dedução da Equação das Hipérboles
Equação Geral das Hipérboles
Equação Canônica das Hipérboles
Definição Geométrica de Hipérbole
Anteriormente, revisamos a equação das elipses e circunferências e descobrimos que têm a forma ax^2 + bx + cy^2 + dy + e = 0, onde a e b são duas quantidades distintas de zero e com o mesmo sinal. Sobre isso comentamos que se a e b têm sinais opostos, então em vez de uma elipse teremos uma Hipérbole. Nada mais dissemos sobre essas curvas, e agora vamos preencher essa lacuna. Completaremos nosso estudo definindo o que é geometricamente uma hipérbole e, a partir disso, obteremos a equação geral e canônica das hipérboles.
Por um lado, temos que a elipse é definida como o conjunto de todos os pontos tais que a soma de suas distâncias em relação a outros dois pontos que chamamos de focos é sempre o mesmo valor. De forma semelhante, e em oposição, a hipérbole é definida como a coleção de todos os pontos tais que o valor absoluto da diferença entre as distâncias dos pontos focais é sempre o mesmo valor.
Ou seja, satisfaz a relação
|d(f_1,P) - d(f_2,P)| = 2a
Onde a é qualquer número real fixo.
Isso gera, na verdade, duas equações, a saber: d(f_1,P) - d(f_2,P) = 2a e d(f_2,P) - d(f_1,P) = 2a, uma para cada ramo da hipérbole.
Dedução da Equação das Hipérboles
A partir da definição geométrica, é possível obter a representação algébrica das hipérboles. Para isso, começaremos pelo caso mais simples, e a partir daí, faremos as generalizações. Nosso raciocínio será realizado para um único ramo da hipérbole; o raciocínio para o outro ramo é completamente análogo.
Dedução da Forma Simplificada
Consideremos dois pontos focais f_1 = (-c,0) e f_2 = (c,0). O ponto p = (x,y) estará contido na hipérbole se
\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a
E, a partir daí, segue-se o seguinte raciocínio:
| \sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a | ; equação das hipérboles |
| \sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} - \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} = 2a | ; expandindo os quadrados |
| \sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} = 2a + \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; redistribuindo termos |
| \color{red}{x^2} + 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} + \color{red}{x^2} - 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} | ; elevando ambos os lados ao quadrado |
| 2xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} - 2xc | ; eliminando termos semelhantes |
| 4xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; redistribuindo termos semelhantes |
| xc = a^2 + a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; Simplificando termos semelhantes |
| xc - a^2 = a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} | ; simplificando termos semelhantes |
| x^2c^2 -2xca^2 + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2) | ; elevando ambos os lados ao quadrado |
| x^2c^2 \color{red}{-2xca^2} + a^4 = a^2x^2 \color{red}{- 2xca^2} + a^2c^2 + a^2y^2 | ; operando parênteses |
| x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2 | ; eliminando termos semelhantes |
| x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2) | ; reagrupando termos |
| \displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1 | ; reagrupando termos |
Para esta última expressão, assim como para as elipses, tomamos b^2=c^2-a^2 e chegamos à equação das elipses:
\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 }
Equação Geral das Hipérboles
Para obter a equação geral das hipérboles, basta tomar a que acabamos de obter e aplicar as transformações de posição:
| x\longmapsto x-h |
| y\longmapsto y-k |
e com isso obtemos automaticamente a equação geral das elipses com centro (h,k)
\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 }
Equação Canônica das Hipérboles
E se agora tomarmos a equação geral das elipses e a desenvolvemos, chegaremos à expressão canônica:
| \displaystyle \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 | ; Equação geral das hipérboles |
| b^2 (x^2 - 2xh + h^2) - a^2(y^2-2ky + y^2) = a^2b^2 | ; resolvendo os quadrados e multiplicando tudo por a^2b^2 |
| b^2 x^2 - 2hb^2x + h^2b^2 - a^2 y^2+ 2k a^2 y - a^2 k^2 = a^2b^2 | ; resolvendo parênteses |
| b^2 x^2 - (2hb^2) x - a^2 y^2+ (2k a^2) y - (a^2b^2 + a^2 k^2 - h^2b^2) = 0 | ; Agrupando termos semelhantes |
Esta última expressão é da forma Ax^2+Bx + Cy^2 + Dy + E = 0, onde A e C são sempre diferentes de zero e com sinais opostos, como já havíamos antecipado quando estudávamos as elipses.