Forma geral e canônica das parábolas

Na aula anterior, vimos que as parábolas podem ser expressas algebricamente através da equação geral das parábolas como.

(x-x_0)^2 = 4f(y-y_0)

Onde o par (x_0,y_0) é a posição do vértice e f é a distância focal. Se f \gt 0, então o foco está a uma distância f acima do vértice, e se f \lt 0, então o foco estará a uma distância f abaixo do vértice.

Também vimos que a equação das parábolas levada à sua forma canônica é equivalente a um polinômio de grau 2.

y(x) = ax^2 + bx + c, com a \neq 0

Caracterizar uma parábola consiste em revelar as seguintes informações.

• As coordenadas do vértice
• As coordenadas do foco
• A equação da diretriz
• A equação do eixo de simetria
• As interseções com o eixo x (se existirem)
• Finalmente, construir um esboço do gráfico com as informações coletadas.

Caracterização de Parábolas a partir da Equação Geral

Se você tem a parábola descrita através da equação geral, então já tem quase toda a informação necessária para completar a caracterização, apenas as interseções com o eixo x necessitarão de análise adicional.

(x-x_0)^2 = 4f(y-y_0)

A partir daí você já tem:

• Vértice: O ponto de coordenadas (x_0,y_0)
• Posição focal: a f unidades acima do vértice
• Foco: O ponto de coordenadas (x_0,y_0 + f)
• Diretriz: a reta de equação y = y_0 - f
• Eixo de simetria: a reta de equação x = x_0

Para encontrar as interseções com o eixo x, será necessário passar a equação geral para a sua forma canônica, igualar o polinômio de segundo grau resultante a zero. Se existirem soluções, tais serão as interseções com o eixo x.

Caracterização de Parábolas a partir da Equação Canônica

Quando a equação das parábolas é apresentada na forma canônica, você tem duas opções: 1) Caracterizar transformando para a equação geral ou 2) Usar a simetria e as interseções com o eixo x. Ambos os métodos têm suas virtudes. O segundo é geralmente mais rápido, mas as parábolas nem sempre interceptam o eixo X. O primeiro é mais trabalhoso, mas também, como veremos mais adiante, é simples de automatizar. Nós examinaremos ambas as alternativas para que você possa escolher de acordo com suas preferências e necessidades o caminho a seguir.

Transformando para a equação geral

A transformação para a forma geral é feita através do seguinte raciocínio, onde a,b,c\in\mathbb{R} e a\neq 0.

A partir disso, podemos extrair todas as informações que tínhamos da equação geral relacionando seus parâmetros com os da equação canônica. Assim, temos:

• Vértice: O ponto de coordenadas (x_0,y_0) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} \right)
• Posição focal: a f = \dfrac{1}{4a} unidades acima do vértice
• Foco: O ponto de coordenadas (x_0,y_0 + f) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{1}{4a}\right) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c +\dfrac{1-b^2}{4a}\right)
• Diretriz: A reta de equação y = y_0 - f = c -\dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{1}{4a} = c -\dfrac{1 + b^2}{4a}
• Eixo de simetria: A reta de equação x = x_0 = -\dfrac{b}{2a}

E a partir daqui, a caracterização das parábolas é feita como já vimos, usando a equação geral.

Usando a simetria e as interseções com o eixo x

Quando temos a equação das parábolas escrita na forma canônica y=ax^2 + bx + c, vemos que é relativamente simples calcular as interseções com o eixo x. Basta resolver a equação

ax^2 + bx + c = 0

Quando isso é possível, obtemos as interseções x_1 e x_2 dadas por

x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Como as parábolas são simétricas, teremos que o eixo de simetria terá equação:

x = x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}= -\dfrac{b}{2a}

O eixo de simetria passa necessariamente pelo vértice da parábola, cujas coordenadas serão

(x_0, y_0) = (x_0, y(x_0)) = \left( -\dfrac{b}{2a}, y\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \right)

Onde

y_0 = y\left(-\dfrac{b}{2a} \right) = a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\dfrac{b}{2a}\right) + c = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{b^2}{2a} + c = c - \dfrac{b^2}{4a}

Assim é como chegamos às coordenadas do vértice que já conhecíamos por outros meios

(x_0, y_0) = \left( -\dfrac{b}{2a},c - \dfrac{b^2}{4a} \right)

A posição focal é, como já vimos, f = \dfrac{1}{4a}, e a partir disso já podemos calcular a posição da diretriz, do foco e todas as informações que já tínhamos desde a equação geral.

Caracterização automática com Excel

Tendo realizado todos esses raciocínios, agora é muito simples automatizar a caracterização de qualquer parábola através do Excel. Você pode encontrar um exemplo aqui.