Variabiles Casuales et Distributiones Probabilitatum
Summarium
Haec lectio profundam immersionem praebet in notiones variabilium casualium et distributionum probabilitatis, columnas fundamentales theoriae probabilitatum atque analysis statisticae. Introducitur definitio variabilis casualis ut numerus qui a exitu experimenti casus pendet. Tractatur functio distributionis variabilis casualis, eius momentum illustrando, necnon proprietates eius essentiales. Denique perscrutatur relatio inter variabiles casuales et distributiones probabilitatis, explicando duas variabiles eandem distributionem habere posse sine eo quod eadem variabilis casualis sint.
PROPOSITA DISCENDI:
Cum haec lectio perfecta erit, discipulus poterit:
- Intellegere notionem variabilium casualium: Discipuli capaces esse debent describere atque explicare quid sint variabiles casuales et quomodo mathematice definiantur.
- Intellegere notionem distributionum probabilitatis: Discipuli explicare debent quid sint distributiones probabilitatis et quomodo repraesententur.
- Describere proprietates distributionum probabilitatis: Discipuli agnoscere atque explicare debent proprietates claves distributionum probabilitatis.
- Analyzare relationem inter variabiles casuales et distributiones probabilitatis: Discipuli disputare debent quomodo variabiles casuales et distributiones probabilitatis inter se coniungantur, et quomodo duae variabiles eandem distributionem habere possint sine eo quod eadem variabilis casualis sint.
- Demonstrate et applicare proprietates distributionum probabilitatis in condicionibus practicis: Discipuli proprietates distributionum probabilitatis mathematice demonstrare et eas in rebus realibus applicare debent.
- Intellegere notionem functionum distributionis: Discipuli describere debent quid sit functio distributionis et quomodo adhibita sit ad variabilem casualem describendam.
INDEX CONTENTORUM:
Quid sunt variabiles casuales?
Quid sunt distributiones probabilitatum?
Proprietates distributionum probabilitatis
Relatio inter variabiles casuales et distributiones probabilitatum
Una ex notionibus clavibus theoriae probabilitatum et analysis statisticae sunt variabiles casuales et distributiones probabilitatum. Quamvis theoria quam adhuc evolvimus quodammodo “completa” sit, veritas est quod in statu hodierno satis rudis est; variabiles casuales et distributiones probabilitatis sunt, ut ita dicamus, notiones quae nobis permittunt “ungere facultatem nostram ad operandum cum probabilitatibus et faciendum analysin statisticam”.
Quid sunt variabiles casuales?
Ut nos cum notione variabilis casualis assuescamus, utile est initium sumere ab accessu intuitivo: variabilis casualis interpretari potest ut “numerus qui a exitu experimenti casus pendet”. Nihilominus, ad intellegentiam accuratiorem, essentiale est etiam definitionem formalem explorare. Videamus hanc definitionem:
Definitio: Variabilis casualis super coniunctione \mathcal{X} est functio f:\Omega \longmapsto \mathcal{X} |
Casus communissimus est cum \mathcal{X}= \mathbb{R}, et, nisi aliter specificetur, hoc deinceps assumemus; id est, operabimur cum variabilibus casualibus valoribus realibus. Generaliter, variabiles casuales litteris maiusculis denotantur, ut X,Y,Z, \cdots,, dum constantes litteris minusculis denotantur. Ad simpliciorem usum, variabiles casuales simpliciter “variabiles” appellabimus.
Exemplum: Ponamus datum sex facierum bis iactari. Tunc habebimus: \Omega_{2d6} = \{(\omega_1, \omega_2)\;|\; \omega_1,\omega_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}\} Ex hoc definire possumus sequentes variabiles casuales:
|
Quid sunt distributiones probabilitatum?
Definitio: Functio distributionis (vel “FD”) variabilis casualis X est functio F_X: \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R} definita per relationem F_X(x) = P(\{\omega \;|\; X(\omega)\leq x\}), vel breviori modo: P(X\leq x). |
Generatim, quod interest de variabili casuali non est tam expressio eius explicita in spatio exemplari \Omega, sed functio eius distributionis. Subscriptum X in F_X omitti potest si contextus clarus est et nulla ambiguitas exsistit. Commune est uti notatione X\sim F ad significandum variabilem casualem X functionem distributionis F habere.
Proprietates distributionum probabilitatis
Si F est distributio probabilitatum et a,b sunt numeri reales quicumque, tunc sequentia proprietates valebunt:
(a) a\lt b \longrightarrow [P(a\lt X \leq b) = F(b) - F(a)]
(b) a\lt b \longrightarrow F(a) \leq F(b), id est, “F est crescens”.
(c) \displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 et \displaystyle\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0
(d) \displaystyle P(X=x)=\lim_{t\to x^+}F(t) - \lim_{t\to x^-}F(t)
(e) \displaystyle F(x)=\lim_{t\to x^+}F(t)
| DEMONSTRATIO (a) Sint A et B eventus \{X\leq a\} et \{X\leq b\} respective, cum a\lt b. Si hoc totum accidit, tum erit A\subseteq B atque ideo fiet ut \color{blue}{P(a\lt X\leq b)} = P(B\setminus A) = P(B) - P(B\cap A) = P(B)-P(A) =\color{blue}{F(b) - F(a)} (b) Ex parte (a) habetur quod: Cum P(B\setminus A)\geq 0, tunc habetur: F(b) - F(a) \geq 0 quod idem est ac dicere F(a) \leq F(b) (c) Hic utemur eo quod F est monotona crescens (in (b) probatum) et limitata cum valore maximo aequali “1” (quia distributio definitur in terminis probabilitatis). Hoc solum sufficit ad dicendum quod \displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 Accessus complementarius ad hoc nobis permittit sequentia computare cum eodem effectu. Definiamus coniunctionem A_n=\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}. Ex hoc facile est verificare quod, pro omni n eveniet A_{n}\subseteq A_{n+1}, \displaystyle\bigcup_{n\lt +\infty} A_n = \Omega atque ideo, utens proprietate continuitatis habebitur: \displaystyle 1=P(\Omega) = P\left( \bigcup_{n\lt +\infty} A_n \right) = \lim_{n\to +\infty} P(A_n) = \lim_{n\to +\infty} P(\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}) = \lim_{n\to +\infty} P(X\leq n)=\lim_{n\to +\infty}F(n) Id est: \displaystyle \color{blue}{\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1} Contra, pro limite in quo x\to -\infty, habetur sequens: Primum definiamus coniunctionem B_n=\{\omega\;|\;-n\lt X(\omega)\}. Ex hoc verificatur quod: \displaystyle \lim_{n \to -\infty}F(n) = \lim_{n\to -\infty} P(X\leq n) = \lim_{n\to \infty} P(X\leq -n)= 1 - \lim_{n\to \infty} P(-n \lt X) = 1 - \lim_{n\to \infty}P(B_n)) = 1 - P(\Omega) = 1-1=0 (d) Similiter ac in parte (c) ratiocinatur. Incipitur definendo coniunctionem \displaystyle C_n = \left\{x - \frac{1}{n} \leq X \leq x + \frac{1}{n}\right\} Et ex hoc habetur quod C_{n+1}\subseteq C_n \displaystyle \bigcap_{n\gt 0} C_n = \{X=x\} Itaque, utens consecutione ex proprietate continuitatis habetur: \displaystyle P(X=x)=P\left(\bigcap_{n\gt 0} C_n \right) = \lim_{n\to \infty} P(C_n) = \lim_{x+1/n \to x^+}F\left(x+1/n\right) - \lim_{x-1/n \to x^-}F\left(x-1/n\right)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) (e) Hic ultimus casus ex antecedenti effectu obtinetur. Revera, cum iam probaverimus \displaystyle P(X=x)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) Possumus scribere \displaystyle \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t\to x^-}P(X\leq t)= P(X\leq x) = F(x) |
Relatio inter variabiles casuales et distributiones probabilitatum
Dicitur duas variabiles X et Y eandem distributionem probabilitatis habere si (\forall A\subseteq \mathbb{R})(P(X\in A) = P(Y\in A)).
Duae variabiles X et Y definitae super idem spatium exemplare \Omega eandem distributionem habere possunt, sed non ideo sunt necessario eadem variabilis casualis. Exempli gratia, si consideremus experimentum iactandi nummum aequilibratum duarum facierum et X=1 respondet capiti et X=0 respondet nummi basi, definiri potest variabilis casualis Y=1-X et habebitur quod P(X=1) = P(Y=1)=0.5, atque ambae eandem distributionem habent, sed si computetur probabilitas ut ambae eundem valorem habeant habebitur P(X=Y)=0