Index refractionis

Definitor index refractionis medii ut ratio inter velocitatem lucis in vacuo et velocitatem lucis in eodem medio. Haec est quantitas sine dimensione et plerumque repraesentatur per litteram n_k:

n_k=\displaystyle \frac{c}{c_k}

Ubi c est velocitas lucis in vacuo et c_k est velocitas lucis in medio k.

Cum lux semper tardius moveatur in quolibet medio quam in vacuo, habetur quod index refractionis semper maior vel aequalis est 1.

Principium Fermat

Velocitas lucis pendet ex medio in quo iter facit. Quanto maiorem indicem refractionis medium habet, tanto minor erit velocitas lucis in eo; et ad hoc refertur principium Fermat:

Cum lux iter facit ab uno puncto ad alterum, sequitur trajectoriam quae minuit tempus itineris.

Hoc principium valet etiam cum lux per diversa media transit.

Lex Snellii de refractione lucis

Ex principiis a Fermat constitutis possibile est formare problema optimizationis quod sinet investigare trajectoriam quam radius lucis sequatur transeundo per diversa media. Hoc est quod tandem ad Legem Snellii perducit, cuius expositionem et demonstrationem infra videbimus.

Ponamus radium egredi ex puncto A et advenire ad punctum B transeundo per superficiem quae separat duo media cum indicibus refractionis n_1 et n_2 respective. Propositum nostrum erit invenire relationem quae nobis permittat computare trajectoriam radii lucis sequendo principium Fermat de minimo tempore itineris; ad hoc componitur sequens schema:

Ratiocinatio incipit ex analysi formae temporis itineris radii lucis. Habemus:

\begin{array}{rl}{Tempus\,Itineris} & =\displaystyle \frac{{Distantia}}{{Celeritas}} \\ \\ & \displaystyle =\frac{{Distantia\,in\,medio\,1}}{{Celeritas\,in\,medio\,1}} + \frac{{Distantia\,in\,medio\,2}}{{Celeritas\,in\,medio\,2}}\\ \\& =\displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{c_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c_2}\end{array}

His positis, manentibus fixis punctis A et B, tempus itineris determinatur per punctum x ubi radius interfaciem inter media attingit. Hoc modo definiri potest functio temporis t(x) per

t(x) = \displaystyle \frac{1}{c_1}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\sqrt{b^2 + (d-x)^2}

Nunc, cum principium Fermat statuat lucem sequi trajectoriam quae minuit tempus itineris, possibile est ex hoc invenire x quod minuit functionem t(x). Agitur de problemate optimizationis.

Derivando t respectu x habetur:

\displaystyle \begin{array}{rl}\dfrac{dt}{dx} &\displaystyle = \frac{1}{c_1}\frac{d}{dx}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\frac{d}{dx}\sqrt{b^2+(d-x)^2}\\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{1}{c_2}\frac{2(d-x)(-1)}{2\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{c_2}\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \end{array}

Iam animadvertamus quod:

\begin{array}{rl}\sin(\theta_1) &\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\\ \\ \sin(\theta_2) &\displaystyle = \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ c_1 & \displaystyle = \frac{c}{n_1} \\ \\ c_2 & \displaystyle = \frac{c}{n_2} \end{array}

Itaque, substitutis his in derivata temporis, habetur:

\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{n_1}{c} \sin(\theta_1) - \frac{n_2}{c}\sin(\theta_2)

Denique, si punctum x minuit functionem t(x), tunc derivata annihilatur et habetur:

\color{blue}{n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)}

Haec est Lex Snellii pro refractione radii lucis transeuntis inter duo media et nobis ostendit relationem quae intercedit inter angulum incidentiae \theta_1 et angulum refractum \theta_2.

Refractio, reflexio et reflexio totalis lucis

Vidimus quod cum lux de uno medio ad aliud transeat, refringitur; sed generatim fit compositio inter refractionem et reflexionem, et secundum indices refractionis atque angulum incidentiae radii lucis, refractio evanescere potest ita ut sola reflexio remaneat.

Ponamus radium lucis incidere ex materiali a in aliud b cum indicibus refractionis n_a et n_b respective. Si n_a \gt n_b, ex Lege Snellii habebitur

\displaystyle \sin(\theta_b) = \frac{n_a}{n_b}\sin(\theta_a)

Cum n_a/n_b \gt 1, evenit ut \sin(\theta_b) \gt \sin(\theta_a), quod significat radium refractum a norma discedere. Hoc significat existere aliquod \theta_a\lt 90^o pro quo \sin(\theta_b)=1 et, proinde, \theta_b=90^o, ut ostenditur in sequenti figura.

Angulus incidentiae qui efficit ut radius refringatur per superficiem appellatur angulus criticus et satisfacit relationi

\displaystyle \sin(\theta_{critico}) = \frac{n_b}{n_a}

Quod aequivalet dicere:

\displaystyle \theta_{critico} = \arcsin\left( \frac{n_b}{n_a} \right)

Si \theta_a \gt \theta_{critico}, tunc fit reflexio totalis.

Exercitia:

1. Consideretur radius lucis transeuns ex aqua in vitrum ut ostenditur in sequenti figura:
   
   Index refractionis aquae est n_1 = 1,33, et vitri est n_2=1,52. Si radius lucis transeuns ex aqua in vitrum incidit in superficiem quae utrumque medium separat cum angulo inclinationis \theta_1 = 60^o respectu normae, quo angulo \theta_2 egreditur radius refractus? SOLUTIO
   Utendo Lege Snellii habetur:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; Lex Snellii
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_2) = \frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)\right)
   (2)	n_1=1,33	; Index refractionis aquae
   (3)	n_2=1,52	; Index refractionis vitri
   (4)	\theta_1=60^o	; Angulus incidentiae in superficie radii lucis
   (5)	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{1,33}{1,52}\sin(60^o)\right) \approx 49,268^o	; Ex (1,2,3,4), Angulus refractionis

2. Tria liquida separata per duas superficies habent hos indices refractionis: n_1=1,33, n_2=1,41 et n_3=1,68,, et disponuntur ut ostenditur in sequenti figura:Si radius qui transit ex medio cum indice n_1 in medium n_2 incidat in superficiem cum angulo \theta_1=70^o, quo angulo refringetur cum transeat in medium cum indice n_3?
   SOLUTIO
   Similiter ac in exercitio priore, habetur sequens ratiocinatio:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; Lex Snellii pro transitu a medio n1 ad n2
   (2)	n_2 \sin(\theta_2) = n_3 \sin(\theta_3)	; Lex Snellii pro transitu a medio n2 ad n3
   (3)	n_1 \sin(\theta_1) = n_3 \sin(\theta_3)	; Ex (1,2)
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_3) = \frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_3 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)\right)

   Denique, substitutis valoribus, habetur:

   
   \displaystyle \theta_3= \arcsin\left(\frac{1,33}{1,68}\sin(70^o)\right) \approx 48,0667^o
   Animadvertendum est hoc ratiocinium ostendere nos posse computationes facere solum sumendo media initii et exitus radii, medio intermedio omnino neglecto.
   
3. Ex imo piscinae iacitur radius lucis versus superficiem aeris et aquae. Determinandus est angulus incidentiae ut fiat reflexio totalis.
   SOLUTIO
   Angulus criticus datur per:

   \displaystyle \theta_{critico}= \arcsin\left(\frac{1,00}{1,33}\right) \approx 48,7535^o