Reflexio in speculis planis et sphaericis

Summarium:
In hac lectione recensibimus principia fundamentalia opticæ geometricæ, quae in reflexione in speculis planis et sphaericis versantur. Definit terminos claves sicut radius lucis, obiectum punctiforme et imago punctiformis. Praeterea tractat regulam signorum pro speculis et relationem Cartesii ad locum imaginum computandum. Explorantur etiam proprietates speculorum concavorum et convexorum, et quomodo formationem imaginum realium et virtualium afficiant. Denique introducitur coefficientis amplificationis ad describendum mutationem in magnitudine et orientatione imaginis respectu obiecti originalis.

Propositi Discendi
Post finem lectionis, discipulus capax erit

1. Opticam geometricam intellegere ut simplificationem opticae electromagneticae quae comprehensionem formationis imaginum per usum geometriae et calculi faciliorem reddit.
2. Leges reflectionis et refractionis intelligere atque earum applicationem in formatione imaginum cum speculis et lentibus.
3. Conceptus claves intellegere et distinguere ut radius lucis, radius proiectus, obiectum punctiforme et imago punctiformis.
4. Regulam signorum speculorum applicare ad positionem obiectorum et imaginum determinandam.
5. Formationem imaginum in speculis planis analyzare, symmetriam et naturam virtualem imaginum extollens.

Index Contentorum
Notiones fundamentales in Optica Geometrica
Definitiones
Regula signorum pro speculis
Specula plana et reflexio specularis
Obiectum punctiforme coram speculo plano
Obiectum extensum coram speculo plano
Reflexio in Speculis sphaericis
Relatio inter positionem obiecti et imaginis in speculo sphaerico
Casus limes cum s\to +\infty
Reflexio obiectorum extensarum in speculis sphaericis
Specula concava et convexa
Coefficientes amplificationis et eius interpretatio

Notiones fundamentales in Optica Geometrica

Optica geometrica est simplificatio opticae electromagneticae quae permittit facile intelligere formationem imaginum et earum proprietates. Per Geometriam et Calculum possibile est leges refractionis et reflectionis inferre quae permittunt formationem imaginum cum speculis et lentibus intellegere. In hac prima parte studebimus conceptus fundamentales opticae geometricae et reflexionem in speculis planis et sphaericis.

Ut haec consilia aggrediamur et deductiones faciamus, aliquos conceptus claves definiremus:

Definitiones

Radius Lucis	Linea imaginaria est quae repraesentat trajectoriam propagationis lucis. Si fons est un obiectum punctiforme, lux ex eo emergit in forma undarum (electromagneticarum) sphaericarum; radii lucis consequenter habent directionem fluxus energiae vel, si mavis, directionem vectoris Poynting.
Radius proiectus	Linea imaginaria quae repraesentat extensionem unius radii lucis.
Obiectum punctiforme vel Fons punctiformis	Punctum spatii unde procedunt radii lucis, sive proprii sive reflexi. Obiectum potest esse punctiforme vel extensum; si punctiforme est, formam non habet, sed solum positionem; si extensum est, volumen finitum non nullum et superficiem circa se habet.
Imago punctiformis	Locus spatii ubi conveniunt radii lucis vel radii proiecti.
Reflexio	Processus quo radii lucis directionem mutant incidendo super superficiem reflectentem.
Refractio	Processus quo radii lucis directionem et velocitatem mutant transeundo de uno medio in aliud.

Regula signorum pro speculis

Conceptus utilis ad systematizandum opticam geometricam est regula signorum quae infra introducitur:

• Positio obiecti: Si obiectum in latere est quo lux ad superficiem reflectentem pervenit, tunc magnitudo positioni eius associata s est numerus positivus, aliter negativa.
• Positio imaginis: Si imago eodem latere est quo lux superficiem reflectentem relinquit, magnitudo positioni eius associata s^\prime erit positiva, aliter negativa.

In speculo plano semper satisfit aequatio s=-s^\prime.

Specula plana et reflexio specularis

Genus simplicissimum superficiei reflectentis est speculum planum. In his observatur omnem radium incidente angulo \theta respectu normalis speculi referri angulo \theta^\prime =\theta. Propter hoc, observator radium reflexum conspiciens videbit quasi obiectum reflexum post speculum situm sit.

Obiectum punctiforme coram speculo plano

Imago formata in speculo plano est symmetrica et virtualis. Symmetrica significat distantiam inter obiectum et speculum eamdem esse ac inter imaginem et speculum, et virtualis significat imaginem “post speculum” esse.

Obiectum extensum coram speculo plano

Si observator ignoraret existentiam obiecti extensi et speculi, radiis reflexis acceptis eos interpretaretur quasi ex imagine emergentes, quasi imago esset obiectum reale.

Reflexio in Speculis sphaericis

Relatio inter positionem obiecti et imaginis in speculo sphaerico

Consideremus speculum sphaericum cum radio curvature r. Si obiectum ad distantiam s a vertice ponimus, imago apparebit in puncto s^\prime, ut in figura monstratur:

Quoniam summa angulorum interiorum trianguli est \pi[rad],, habetur:

\begin{array}{lr} \phi + \theta + \pi - \beta =\pi\; &\Longrightarrow {\beta = \phi + \theta}\\ \\ \alpha + \theta + \pi - \phi =\pi\; &\Longrightarrow {\theta = \phi - \alpha} \end{array}

Ex hoc inferimus \beta = 2\phi - \alpha et ideo

\color{blue}{\alpha + \beta = 2\phi}.

His notitiis possibile est relationem inter positiones s et s^\prime obiecti et imaginis inferre. Ad hoc observamus quod:

\begin{array}{rl} \tan(\alpha) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \\ \\ \tan(\beta) &\displaystyle = \frac{h}{s^\prime - \delta} \\ \\ \tan(\phi) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \end{array}

Nunc, si obiectum satis longe a speculo est vel radius curvature satis magnus est, licet assumere angulos \alpha, \beta et \phi proximos esse ad zerum et in hoc contextu approximationes sequentes valent:

\begin{array}{rl} \delta & \approx 0 \\ \\ \alpha &\displaystyle \approx \tan(\alpha) \approx \frac{h}{s} \\ \\ \beta &\displaystyle \approx \tan(\beta) \approx \frac{h}{s^\prime} \\ \\ \phi &\displaystyle \approx \tan(\phi) \approx \frac{h}{r} \end{array}

His approximationibus in aequationem viridem insertis obtinemus:

\displaystyle \frac{h}{s}+\frac{h}{s^\prime}\approx\frac{2h}{r}

Denique, simplificatis h et substituendo \displaystyle f = \frac{r}{2} habemus quod

\displaystyle\color{blue}{\frac{1}{s}+\frac{1}{s^\prime}\approx\frac{1}{f}}

Hoc est quod appellatur “relatio Cartesiana” pro speculis sphaericis parvae aperturae, ubi valor f foco lensis respondet.

Casus limes cum s\to+\infty

Si valorem s^\prime computamus et limitem cum s\to+\infty, calculamus, tunc habebimus:

\displaystyle s^\prime = \frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{s}} =\frac{sf}{s-f}

\displaystyle\lim_{s\to +\infty}s^\prime = \lim_{s\to +\infty}\frac{sf}{s-f}=f

Aliter, si fontem longe ponimus, tunc radius ex ea egrediens et ad speculum perveniens fere horizontem sequetur et, in speculo reflectens, per focum transibit ut in figura ostenditur:

Reflexio obiectorum extensarum in speculis sphaericis

Resultata quae hactenus recensuimus sinent nos locum geometrice invenire ubi imago obiecti formabitur cum lux quam emittit vel reflectit in speculo sphaerico reflectitur. Ad hoc sufficit notare omnes radios horizontales reflexos per focum transire, omnes radios per focum transeuntes horizontaliter reflexos esse, et quod localiter (in puncto ubi radius speculum sphaericum attingit) speculum se gerit ut speculum planum, unde angulus incidentiae aequatur angulo reflexo.

Quisque punctus obiecti extensi radios lucis emittit qui, postquam a speculo reflectuntur, in puncto respondente imaginis intersecantur.

Specula concava et convexa

Specula sphaerica quae hactenus recensuimus omnia exempla speculorum concavorum sunt. Haec sunt illa in quibus curvatura ex parte est unde radii lucis veniunt. Cum curvatura ad partem oppositam dirigitur, speculum convexus dicitur. Cum formatio imaginum in huiusmodi speculis geometrice analysatur, primum quod animadvertitur est radios reflexos, pro conspiratione in punctum, dispergi; ad locum invenire ubi imago formatur necesse est, consequenter, radios reflexos projicere ita ut imago virtualis obtineatur.

Hoc loco sequentia vocabula consideranda sunt:

• Imago realis: est quando imago a radiis reflexis formatur et ideo ante speculum est.
• Imago virtualis: est quando imago a radiis proiectis formatur et idcirco “post speculum” est.

Coefficientes amplificationis et eius interpretatio

Ut in figuris superioribus videre potuimus, cum reflexio fit in speculis sphaericis, concavis vel convexis, imago magnitudinem vel orientationem respectu obiecti originalis mutare potest. Tunc quaestio oritur: num existat modus ad hoc incrementum vel decrementum et mutationem orientationis imaginis modellandum? Responsum est affirmativum et deducitur ex relationibus similitudinis triangulorum in quacumque figura quam iam recensuimus. Infra ostensum erit analysis pro speculo concavo; pro speculis convexis ratio similis est. Ad singulos gradus rite sequendos, memineris regulas signorum pro speculis quas in principio vidimus.

Cum triangula caeruleum et viride similia sint, tunc habetur coefficientem amplificationis m=y^\prime/y qui indicat quantum imago reflexa relativa ad magnitudinem obiecti originalis augeatur, per relationem sequentem computari posse:

\displaystyle \frac{y}{s} = \frac{-y^\prime}{s^\prime}

Hic y^\prime signo negativo comitatur quia imago deorsum orientatur (invertitur), et secundum regulam signorum speculorum, s et s^\prime sunt ambo positi. Consequenter habebitur:

\displaystyle \color{blue}{m=\frac{y^\prime}{y} = - \frac{s^\prime}{s}}

Id est, cognitis positionibus obiecti et imaginis possibile est coefficientem amplificationis speculi computare.

Haec formula componi potest cum relatione Cartesiana ad coefficientem amplificationis computandum ex foco et positione obiecti. Sufficit meminisse quod

\displaystyle s^\prime=\frac{sf}{s-f}.

et habebitur:

\displaystyle \color{blue}{m= - \frac{1}{s}\frac{sf}{s-f} = \frac{f}{f-s}}

Ex hoc sequitur quod:

• Si |m|\lt 1, imago contrahitur; cum |m|\gt 1, imago expanditur; et cum |m|=1,, magnitudinem suam servat.
• Si m\gt 0, imago orientationem obiecti originalis retinet; et cum m\lt 0, imago respectu obiecti originalis invertitur.
• Imago ad punctum redigitur cum m=0.