Specula plana, problemata soluta
Summarium:
In hac lectione recognoscemus quaedam problemata soluta speculorum planorum. Determinatur angulus reflexionis \gamma in functione anguli \theta inter duo specula plana cardine iuncta et exempla specifica computantur. Examinauntur valores critici \alpha ut radius semel in quodque speculum reflectatur et formula pro \gamma confirmatur. Item identificantur anguli incidentiae qui faciunt ut radius in se redeat, computando seriem angulorum reditus \alpha_n = n\theta.
Proposita Discendi
Hoc cursu confecto, discipulus poterit:
- Intellegere formulas fundamentales opticae speculorum planorum.
- Applicare legem reflexionis in problematibus cum speculis planis.
- Determinare angulum reflexionis \gamma in functione anguli \theta inter duo specula plana.
- Analyzare limites formularum speculorum et condiciones earum validitatis.
INDEX CONTENTORUM
Introductio
Specula cardine iuncta
Examinatio limitum ratiocinii
Anguli reditus
Introductio
In lectione praeterita recognovimus plerasque formulas ad opticam speculorum planorum et sphaericorum pertinentes; tamen, ut melior intellectus horum argumentorum obtineatur, necesse est inspicere modum quo hae in resolutione problematum ad haec pertinentium apparent. Quam ob rem hanc partem solummodo destinabimus ad solutionem nonnullorum problematum recognoscendam. Hoc tempore nos tantum in speculis planis concentramur.
Specula cardine iuncta
Duo specula plana cardine iuncta extremo inter se angulum \theta. sustinent. Si radius lucis in unum ex speculis cum angulo \alpha respectu ad normalem incidit ita ut lux semel tantum in quodque speculum reflectatur et secum ipsam intersecaretur angulum \gamma: formans:
- Inveni formulam quae sinat determinare angulum \gamma ex ceteris datis.
- Si radius lucis in primum speculum cum angulo \alpha=30^o incidit et angulus inter specula est \theta=50^o, quis erit angulus \gamma?
- Definiendo angulum \beta inter normalem secundi speculi et radium lucis a primo speculo reflexum, et utens lege reflexionis in speculis planis figuram complere possumus hoc modo:
His consideratis, fieri potest sequens ratiocinatio:[/latex] (90^o - \alpha) + (90^o - \beta) + \theta = 180^o ; Quia summa angulorum interiorum trianguli est 180^o \equiv \alpha + \beta = \theta [/latex] 2\alpha +2\beta + \gamma = 180 ; Quia summa angulorum interiorum trianguli est 180^o \equiv \gamma = 180 - 2(\alpha + \beta) [/latex] \color{blue}{\gamma = 180 - 2\theta} ; Ex (1,2) Ergo colligitur angulum \gamma solum functionem esse anguli \theta quem specula formant et eius formula erit \gamma(\theta) = 180^0 - 2\theta
- Ex ratione in priori inciso habetur \gamma = 180^o - 2\cdot 50^o = 80^o
Examinatio limitum ratiocinii
Exercitium prius habet subtilem quaestionem. Si enuntiatum inspicis videbis requiri ut radius lucis semel tantum in quodque speculum reflectatur; tamen, ut id fiat, non quilibet valor \alpha sufficit. Inveni valores \alpha qui talem condicionem satisfaciant et qui igitur sinant formulam in exercitio priore obtentam validam esse.
Habemus \alpha valorem “criticum” attingere cum efficit \beta=0^o; et cum hoc fit, possumus sumere angulum x qui sequens ratiocinium sinit:
Accidere debet quod hae duae aequationes indicant:
\alpha + x = 90^o
\theta + x = 90^o
Et hoc fieri potest solum si:
\alpha = \theta
Id est: valor \alpha=\theta est valor anguli incidentiae criticus talis ut, si superetur, tunc radius plus quam bis in speculo reflectetur et consequenter formulam in exercitio priore obtentam invalidaret. Ex his resultatis possumus corrigere exitum exercitii prioris scribentes:
\gamma(\theta, \alpha) = 180^0 - 2\theta \;\;\;\; ; \;\;\;\; \alpha \in ]0,\theta[
Anguli reditus
Ex his resultatis videre possumus quod, pro certis angulis incidentiae, radius lucis in se ipsum revertitur. Hoc fit cum \alpha = 0^o vel cum \alpha = \theta, ubi \theta est angulus inter duo specula plana formatus. Existentne plures anguli reditus?; et si sunt, quomodo computari possint?
SOLUTIOAd hunc problematem solvendi debemus imaginari condicionem quae eveniet cum radius lucis in primum speculum cum angulo respectu ad normalem \alpha\in ]\theta, 180^o[ incidit. Cum hoc fit, habemus condicionem sicut in figura sequenti monstratur:
Cum summa angulorum interiorum trianguli sit 180^o:
(90^o - \alpha) + (90^o + \beta) + \theta = 180
Simplificando hanc relationem possumus obtinere angulum \beta in terminis \alpha et \theta.
\beta=\alpha - \theta
Haec expressio magni momenti est quia si \beta=\theta, tunc secundum rationem exercitii prioris radius debet in se ipsum redire in proxima reflexione. Itaque \alpha=2\theta. Ergo hoc ratiocinium inductive extendi potest per:
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{n-1} = \alpha_n - \theta
Et ex hoc, habemus seriem angulorum reditus:
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{2} = 2\theta
\vdots
- \alpha_{n} = n\theta
Praeterea notandum est tam angulum inter specula plana quam singulos angulos incidentiae acutos esse debere.