Referentia Inertialis

Cum physica exercetur, semper possibile est eligere structuram referentialem ex qua eventus mensurantur, et hae structurae possunt variari tum orientatione tum motu relativo. Ex omnibus possibilibus systematis referentialibus classis quaedam praecipua est quae nobis permittit physicam uti cognoscimus facere; hi sunt systemata referentialia inertialia. Dicitur structuram referentialem inertiale esse cum in ea satisfacta est prima lex Newtoni, quae enuntiat quod, in absentia agentium externorum, particulae conservant statum suum motus et propterea:

\displaystyle \frac{dx^2}{dt^2} = \frac{dy^2}{dt^2} = \frac{dz^2}{dt^2} = 0.

Hinc sequitur quod, in absentia gravitatis, si duo systemata S et S^\prime inertialia sunt, tunc S^\prime solum a S differre potest in:

• translatione una,
• rotatione una,
• motu relativo inter utrumque systema celeritate constanti.

Conceptus referentiae inertialis fundamentalis est pro principio relativitatis, quod statuit leges physicae eandem formam habere in omnibus systematibus inertialibus. Hoc principium aeque valet tam in physica Newtoniana quam in relativitate speciali.

Principium relativitatis in physica Newtoniana et in relativitate speciali

Descriptiones Newtonianae et relativitatis specialis differunt quomodo coordinatae eventus, ad systema inertiale relata, ad coordinatas alterius systematis inertialis referantur.

Consideremus duo systemata inertialia cartesiana S et S^\prime in «configuratione standardi», id est, ubi S^\prime movetur per axem \hat{x} systematis S celeritate constanti \vec{v}_{ss^\prime} = v_{ss^\prime_x} \hat{x} et axes respectivos S et S^\prime sunt aligati et coincidunt in t=t^\prime = 0.

Ita, si exstat transformata linearis quae coordinatas eventus visum ex S et S^\prime inter se relinque, hae inter se referuntur per sequentem systema aequationum linearum

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array}\;\;\;[\triangle]

ubi A, B, D et E sunt constantes determinandae.

Simplificans transformationes inter referentias inertiales

Hae transformationes simplicari possunt si has observationes facimus:

• Quoniam transformationes implendae sunt pro quolibet x^\prime, si eventum ponimus in origine S^\prime, habebimus x^\prime =0. Hoc implicat eventum simul cum S^\prime moveri et eius positio respectu S erit x=v_{{ss^\prime}_x}t.

  Substituendo x=v_{{ss^\prime}_x}t. in secunda aequatione [\triangle], obtinebimus D=-Ev_{{ss^\prime}_x}.

  Analogi modo, transformationes valent quoque pro quolibet x; si igitur eventum in origine S ponimus, tunc visum ex S^\prime positionem habebit x^\prime = -v_{{ss^\prime}_x}t^\prime.

  Substituendo hoc in primam et secundam aequationem [\triangle] pervenitur ad t^\prime=At et -v_{{ss^\prime}_x}t^\prime =Dt. Dividendo has duas aequalitates concluditur D=-v_{{ss^\prime}_x}A.

• Hoc modo, sola via conciliandi praedicta est imponere A=E,, et hoc facto transformationes reducuntur ad:

  \begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= A(x - v_{ss^\prime_x} t), \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}\;\;\;[2]

Transformationes Lorentzianae et Galileianae

In casu physicae Newtonianae habemus relativitatem Galileianam, in qua tempus eodem modo transit in omnibus systematibus inertialibus et propterea t=t^\prime. Ex hoc sequitur quod A=1 et B=0. Hoc ducit ad celebres transformationes Galileianas quae permittunt observationes inter duo systemata inertialia transformare

\begin{array}{rl} t^\prime &= t\\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x} t, \\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &= z. \end{array}\;\;\;[3]

Ex altera parte, in physica relativistica habemus principium relativitatis Einsteinianum, quod pro sua vice considerat velocitatem luminis in vacuo aequalem esse in omnibus systematibus inertialibus. Hoc ducit ad celebres Transformationes Lorentzianas relativitatis specialis et, ut in posteriis sectionibus videbimus, sequentem formam accipiunt:

\begin{array}{rl} ct^\prime &=\gamma_x \left( ct - \beta_x x \right) \\ x^\prime &= \gamma_x(x - \beta_x ct) \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array}

ubi \beta_x=v_{ss^\prime_x}/c et \gamma= 1/\sqrt{1-\beta_x^2}.

Conclusiones

Principium relativitatis non solum cognitionem nostram universi vertit, sed etiam perceptiones nostras fundamentales de tempore et spatio provocat. Per analysim systematum referentialium inertialium vidimus quomodo leges physicae formam suam constantem servent, quocumque observatore, tam in physica Newtoniana quam in relativitate speciali. Transformationes Lorentzianae et Galileianae singulariter illustrant subtilia et profunda discrimina inter hos duos approches. Hoc principium, quod in corde physicae modernae versatur, non solum essentiale est ad comprehensionem theoricam phaenomenorum physicorum sed etiam ad applicationes practicas quae ab technologia GPS ad explorationem spatiale pertinent. Enodando complexitates Principii Relativitatis, paulum propius accedimus ad intellegendam intricatum textum cosmos et locum nostrum in eo.