Quid est motus rectilineus uniformiter acceleratus?

Motus rectilineus uniformiter acceleratus, MRUA breviter, est genus motus quod implicite iam tractavimus, quod apparebit cum inspiciemus modum quo ex aequationibus itineris exprimitur. Sed si descriptionem celerem volumus, MRUA est genus motus in quo acceleratio est constans, tam secundum magnitudinem quam directionem, et qui in linea recta evolvitur; id est, in una dimensione.

Motus rectilineus uniformiter acceleratus ex aequationibus itineris

Obtentio MRUA est imitatio directa laboris quem egimus ad obtinendas aequationes itineris per integrationem in prioribus lectionibus. Cum MRUA sit motus cum acceleratione constanti et unidimensionali, satis est deductiones facere super unicum axem coordinatum; si ratiocinamur super axem \hat{x} consequimur hoc:

\begin{array}{rcl} a_x(t) & =& a_{0x} \\ \\ v_x(t) & =& \int a_{0x}dt = a_{0x}t + v_{0x} \\ \\ x(t) & =& \displaystyle \int v_{x}(t)dt = \frac{1}{2}a_{0x}t^2 + v_{0x}t + x_0 \end{array}

Hic a_{0x}, v_{0x} et x_0 sunt omnes constantes, et duae ultimae sunt constantes integrationis. Et hoc modo habemus exemplar completum motus rectilinei uniformiter accelerati secundum directionem axis \hat{x}. Ratiocinatio pro quolibet alio axe est omnino similis.

MRUA et casus Lapsus Liberi

Unus e casibus maxime repraesentativis MRUA est lapsus liber. Hic est motus rectilineus uniformiter acceleratus qui verticaliter evolvitur et a gravitatis acceleratione producitur. Huius exemplar per aequationes itineris est sequens:

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt + v_{0y} \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t+ y_0 \end{array}

Hic acceleratio gravitatis est g=9,81[m/s^2]. Commune in lapsu libero est ut initio ex quiete incipiat (v_{0y}=0) et cum altitudine initiali y_0=h, ita ut aequationes redigantur ad

\begin{array}{rcl} a_y(t) & =& -g \\ \\ v_y(t) & =& -gt \\ \\ y(t) & =& \displaystyle - \frac{1}{2}gt^2 + h \end{array}

Non refert quas aequationes habeas, hoc iam sufficit ut informationem ex his elicias “rectas quaestiones ponendo” aequationibus.

Si corpus ex quiete incipit ex altitudine h

Quantum temporis cadit?

Si hoc aequationibus quaerimus, illae nobis dicent “corpus terram tangere cum altitudo nulla est”, id est y(t)=0. Si hoc fit, tum debemus tempus solvere in aequatione \displaystyle \frac{1}{2}gt^2 + h = 0. Ex hoc duo eventus possibiles habentur:

\displaystyle t=\pm\sqrt{\frac{2h}{g}}

Tempus negativum ad praeteritum spectat, et positivum ad futurum. Cum lapsus in futuro eveniat, possumus tempus lapsus definire ut

\displaystyle t_{lapsus}=+\sqrt{\frac{2h}{g}}

Qua celeritate terram attingit?

Hanc quaestionem respondere possumus simpliciter substituendo tempus lapsus in aequationem velocitatis. Si hoc facimus, consequimur velocitatem lapsus:

\displaystyle v_{lapsus} = v_y(t_{lapsus})=-g\sqrt{\frac{2h}{g}}=-\sqrt{\frac{2g^2h}{g}} = -\sqrt{2gh}

Exercitia ad motum rectilineum et uniformem pertinentia

1. Mobile transit per originem cum velocitate initiali v_0=10[km/h] et cum acceleratione a_0=\displaystyle \frac{20[km/h]}{5[s]}. Calcule positionem et velocitatem mobilis in momentis a) t=5[s], b) t=10[s], c) t=15[s] et d) t=1[min]. [SOLUTIO]
2. Homo relinquit globum ferreum et lapidem ex altitudine 20[m] simul ex quiete. Utraque corpora eandem magnitudinem habent, sed pondus diversum. Quantum temporis cadunt et qua velocitate moventur momento quo terram attingunt?; Potestne unum ex his corporibus citius cadere quam alterum aut maiore velocitate pervenire? [SOLUTIO]
3. Nummus in puteum deicitur. Sonus qui indicat nummum ad fundum pervenisse post 10 [s] auditur. Quae est profunditas putei? [SOLUTIO]
4. Homo verticaliter in caelum spuit et in 1.2[s] in faciem suam redit. a) Qua velocitate sputum misit? b) Quam altitudinem sputum attigit? [SOLUTIO]