1. Introductio

Studium functionum algebraicarum incipit introducendo variabiles: symbola quae repraesentant locum ubi numerus poni potest. Tradito usu litterae x, y, z ad numeros reales repraesentandos sunt, in aliis contextibus z complexorum praefertur. Etiam mos est indices uti quando variabiles multae sunt. Ita x_1, x_2, \cdots , x_n quoque exempla variabilium sunt.

Functiones algebraicae fundamentales sunt in variis partibus mathematicarum et earum applicationibus. Hae functiones definiuntur per expressiones algebraicas quae operationes elementarias sicut additionem, subtractionem, multiplicationem, divisionem, potentias et radices variabilium includunt. Intellegere functiones algebraicas essentiale est ad studium multarum ramorum mathematicae purae et applicatae, inter quas algebra, calculus, geometria et theoria numerorum. Praeterea magni momenti sunt in physica, ingeniaria, oeconomia et scientiis socialibus, quia sinunt phenomena realia accurate et efficaciter modulare et analysi subicere.

In campo educativo functiones algebraicae ut fundamentum solidum pro evolutione cogitationis abstractae et solutione problematum serviunt. Per studium harum functionum discipuli discent expressiones algebraicas tractare et relationes inter variabiles intellegere, quod fundamentale est ad progressum in mathematicis magis complexis.

In vita cotidiana functiones algebraicae in variis contextibus practicis adhibentur. Exempli gratia, in administratione pecuniaria ad usuras et amortizationes computandas, in informatica ad algoritmos evolvendos et in ingeniaria ad structuras et systemata designanda applicantur. Functiones algebraicae etiam essentiales sunt in analysis datae et modellatione statistica, iuvantes interpretari et praedicere comportamenta ex datis observatis.

Denique, studium functionum algebraicarum non solum angulus angularis mathematicarum est, sed etiam amplam utilitatis rem practicalem habet quae earum relevantiam et utilitatem in mundo moderno illustrat. Cum solida harum functionum cognitione, problemata complexa tractari et solutiones innovantes in variis campis evolvi possunt.

2. Quid sunt Functiones Algebraicae?

Functiones algebraicae sunt genus speciale functionis. Functio est lex correspondentiae inter duos coniunctos quam scribendo repraesentamus:

f: A\longmapsto B

Ubi A est coniunctus initiorum et B finis.

Omnis functio f habet, praeterea, dominium (Dom(f)) et recursum (Rec(f)). Dominium est coniunctus omnium valorum initiorum pro quibus functio exitum validum producit, recursus est coniunctus omnium valorum exitus possibilium functionis. Recursus etiam vocatur Imago, et dominium praeimago. Definientes functionem, aliquando mos est scribere aliqua ex his duabus formis:

f: Dom(f)\subseteq A\longmapsto Rec(f)\subseteq B

f: Dom(f)\ \longmapsto Rec(f)

Itaque functiones algebraicae sunt illae quae scribuntur in terminis operationum algebraicarum variabilium, talium sicut additio, subtractio, multiplicatio, divisio, potentia et radix principalis. Dicitur praeterea functionem esse variabilis realis si expectatur ut eius variabiles reponantur numeris realibus, variabilis complexae si expectatur ut reponantur numeris complexis, et similiter pro quolibet alio coniuncto numerorum. Item loquitur de functionibus unius, duarum, trium vel plurium variabilium, secundum numerum variabilium.

2.1. Exempla Functionum Algebraicarum

1. Consideremus sequentem functionem

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & f(x) =x^3 + 5x + \displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}} \\ \end{matrix}

   Haec est functio algebraica unius variabilis realis. Hic directe videre possumus quod

   Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; x\gt 0\} = ]0, +\infty[

   Hoc fit quia divisiones per nullum non existunt et quia radix principalis solum bene definita est pro realibus positivis.

2. Nunc examinemus sequentem functionem

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \longmapsto & f(x,y) =\displaystyle \frac{2xy + \frac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}} \\ \end{matrix}

   Haec est functio duarum variabilium realium quae resultatum numerum reale reddit. Hoc etiam cognoscitur ut campus scalaris. Hoc genus functionum extra huius cursus ambitum excedit, sed in physica valde utile est ad magnitudines describendas sicut temperaturam aut distributiones densitatis. Dominium huius functionis etiam “ad oculum” videri potest.

   Dom(f) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; x \neq 0 \wedge y\neq 1 \}

2.2. Commentarii de Graphico et Recursu

Determinare recursum plerumque difficile est. Postea videbimus technicas quae id facile efficiant, etiam in casibus ubi algebraice impossibile videtur. Tamen, etiam cum his modis erunt problemata quia interdum technicae necessariae sunt quae ultra huius cursus ambitum sunt, ut calculus punctorum criticorum ad maxima et minima in calculo differentiali determinanda. Tamen, etiam sine calculo multa fieri possunt, et haec suo tempore videbimus.

Si tamen interest recursum et graphum harum functionum cognoscere, semper potes ad Wolfram Alpha se conferre. Intra ad https://www.wolframalpha.com/ et experire hanc effigiem copiando et glutinando:

x^3 + 5x + \dfrac{6}{\sqrt{x}}

ut ideam de primo exemplo habeas. Ad secundum exemplum, copia et gluta hoc:

\dfrac{2xy + \dfrac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}}

3. Alia Genera Functionum

Functiones quas in hoc cursu studemus dividi possunt in duas species: Functiones Algebraicae et Functiones transcendentes. Algebraicae, ut iam vidimus, sunt illae quae scribuntur in terminis operationum fundamentalium, functiones transcendentes vero non possunt hoc modo scribi aut exprimi necesse est per expressiones compositas ex infinitis operationibus. Ipsae functiones algebraicae iterum in duas species dividi possunt: polynomiales et non polynomiales. Functio polynomialis est quaelibet functio quae scribi potest ut summa vel differentia potentiarum. Aliquid huiusmodi:

\displaystyle P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n

Quaelibet functio quae non est huius formae est non-polynomialis. Inter functiones non polynomiales eminet functiones rationales, quae sunt illae quae scribi possunt ut quotiens inter duas functiones polynomiales.