1. Introduction

L’étude des fonctions algébriques commence par l’introduction des variables : des symboles qui représentent l’emplacement où un nombre peut aller. Traditionnellement, on utilise les lettres x, y, z pour représenter des nombres réels, dans d’autres contextes, le z est préféré pour les complexes. Il est également d’usage d’utiliser des indices lorsque les variables sont nombreuses. Ainsi, x_1, x_2, \cdots , x_n sont aussi des exemples de variables.

Les fonctions algébriques sont fondamentales dans divers domaines des mathématiques et leurs applications. Ces fonctions sont définies par des expressions algébriques impliquant des opérations de base comme l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, les puissances et les racines de variables. Comprendre les fonctions algébriques est essentiel pour l’étude de nombreux domaines des mathématiques pures et appliquées, y compris l’algèbre, le calcul, la géométrie et la théorie des nombres. De plus, elles ont une importance cruciale en physique, en ingénierie, en économie et en sciences sociales, car elles permettent de modéliser et d’analyser des phénomènes réels de manière précise et efficace.

Dans le domaine éducatif, les fonctions algébriques servent de base solide pour le développement de la pensée abstraite et la résolution de problèmes. Grâce à l’étude de ces fonctions, les étudiants apprennent à manipuler des expressions algébriques et à comprendre les relations entre les variables, ce qui est fondamental pour progresser dans des mathématiques plus complexes.

Dans la vie quotidienne, les fonctions algébriques sont utilisées dans une variété de contextes pratiques. Par exemple, elles sont appliquées dans la gestion financière pour calculer les intérêts et les amortissements, en informatique pour développer des algorithmes et en ingénierie pour concevoir des structures et des systèmes. Les fonctions algébriques sont également essentielles dans l’analyse de données et la modélisation statistique, aidant à interpréter et à prédire les comportements basés sur les données observées.

En résumé, l’étude des fonctions algébriques est non seulement une pierre angulaire des mathématiques, mais elle a aussi un large éventail d’applications pratiques qui soulignent sa pertinence et son utilité dans le monde moderne. Avec une compréhension solide de ces fonctions, on peut aborder des problèmes complexes et développer des solutions innovantes dans divers domaines.

2. Qu’est-ce que les Fonctions Algébriques ?

Les fonctions algébriques sont un type spécial de fonction. Une fonction est une loi de correspondance entre deux ensembles que nous représentons par l’écriture :

f: A\longmapsto B

Où A est l’ensemble des entrées et B est l’ensemble des sorties.

Toute fonction f a, en outre, un domaine (Dom(f)) et un ensemble d’images (Rec(f)). Le domaine est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée pour lesquelles la fonction produit un résultat valide, et l’ensemble d’images est l’ensemble de toutes les sorties possibles de la fonction. L’ensemble d’images est aussi appelé image, et le domaine préimage. Lors de la définition d’une fonction, il est parfois courant de l’écrire de l’une des deux manières suivantes :

f: Dom(f)\subseteq A\longmapsto Rec(f)\subseteq B

f: Dom(f)\ \longmapsto Rec(f)

Ainsi, les fonctions algébriques sont celles qui s’écrivent en termes des opérations algébriques de leurs variables, telles que l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, la puissance et la racine principale. Il est également dit qu’une fonction est de variable réelle si l’on s’attend à ce que ses variables soient remplacées par des nombres réels, de variable complexe si l’on s’attend à ce qu’elles soient remplacées par des nombres complexes, et ainsi de suite avec tout autre ensemble numérique. On parle aussi de fonctions à une, deux, trois ou plusieurs variables, selon qu’elles ont une, deux, trois ou de nombreuses variables.

2.1. Exemples de Fonctions Algébriques

1. Considérons la fonction suivante

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & f(x) =x^3 + 5x + \displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}} \\ \end{matrix}

   C’est une fonction algébrique d’une variable réelle. Ici, nous pouvons voir directement que

   Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; x\gt 0\} = ]0, +\infty[

   Cela est dû au fait qu’il n’y a pas de divisions par zéro et que la racine principale n’est bien définie que pour les nombres réels positifs.

2. Examinons maintenant la fonction suivante

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \longmapsto & f(x,y) =\displaystyle \frac{2xy + \frac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}} \\ \end{matrix}

   C’est une fonction de deux variables réelles qui donne comme résultat un nombre réel. Cela est également connu sous le nom de champ scalaire. Ce type de fonctions dépasse également la portée de ce cours, mais elles sont très utiles en physique pour décrire des magnitudes telles que la température ou les distributions de densité. Le domaine de cette fonction peut également être vu « à l’œil nu ».

   Dom(f) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; x \neq 0 \wedge y\neq 1 \}

2.2. Commentaires sur le Graphique et le Parcours

Déterminer le parcours est généralement compliqué. Nous verrons plus tard des techniques qui nous permettront de le faire facilement, même dans des cas où cela semble impossible à réaliser algébriquement. Cependant, même avec ces méthodes, des problèmes subsisteront car parfois des techniques allant au-delà de la portée de ce cours sont nécessaires, comme le calcul des points critiques pour l’identification des maxima et des minima en calcul différentiel. Cependant, même sans le calcul, il y a beaucoup à faire, et ces choses seront vues en temps voulu.

Si néanmoins vous êtes intéressé à connaître le parcours et le graphique de ces fonctions, vous pouvez toujours consulter Wolfram Alpha. Allez sur https://www.wolframalpha.com/ et essayez de copier et coller ceci :

x^3 + 5x + \dfrac{6}{\sqrt{x}}

pour avoir une idée de ce à quoi ressemblerait le premier exemple. Pour le second, copiez et collez ceci :

\dfrac{2xy + \dfrac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}}

3. Autres Types de Fonctions

Les fonctions que nous étudions dans ce cours peuvent être divisées en deux types : Fonctions Algébriques et Fonctions Transcendantales. Les algébriques, comme nous l’avons vu, sont celles qui s’écrivent en termes des opérations fondamentales, tandis que les fonctions transcendantes ne peuvent pas être écrites de cette manière ou nécessitent des expressions composées d’un nombre infini d’opérations. À leur tour, les fonctions algébriques peuvent être divisées en deux types : les polynomiales et les non-polynomiales. Une fonction polynomiale est toute fonction qui peut être écrite comme une somme ou une différence de puissances. Quelque chose de la forme suivante :

\displaystyle P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n

Toute fonction qui n’est pas de cette forme est non-polynomiale. Parmi les fonctions non-polynomiales, on distingue particulièrement les fonctions rationnelles, qui sont celles qui peuvent être écrites comme le quotient de deux fonctions polynomiales.