Domínia Integritátis et Numeri Integri

Summarium:
Hac in lectione notio Dominii Integritatis introducitur, eiusque momentum in studio algebrae generalis explicatur, et nonnullae proprietates eius maximi momenti per probationes formales demonstrantur.

Metas Discendi:
Hac lectione peracta, discipulus poterit:

1. Intellegere finem studii algebrae generalis.
2. Intellegere notionem dominii integritatis.
3. Explicare elementa fundamentalia communia inter domínia integritátis et números íntegros.
4. Demonstrāre per probationes formales proprietates fundamentales dominiorum integritatis.

INDEX CONTENTORUM
FINIS ALGEBRAE GENERALIS ET PRAENOTIONES
A NUMERIS INTEGRIS AD DOMINIA INTEGRITATIS
ELEMENTA COMMUNIA INTER DOMINIA INTEGRITATIS ET NUMEROS INTEGROS
PROPRIETATES DOMINIORUM INTEGRITATIS ET NUMERORUM INTEGRORUM
EXERCITATIONES

Finis Algebrae Generalis et Praenotiones

Finis principalis algebrae generalis est studium totius varietatis systematum mathematicorum possibilis. Hic plura talia systemata investigabimus, inter quae praecipua eminent numeri naturales et integri, per quos ad dominia integritatis perveniemus.

\mathbb{N}= \{1,2,3,4,\cdots\}

\mathbb{Z}= \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\cdots\}

A Numeris Integris ad Domínia Integritátis

Examen nostrum incipiemus a numeris integris, et ratio cur hoc modo procedamus est quod hi numeros plurimas similitudines cum plurimis systematibus numericis quae in hoc studio examinabimus exhibent.

Pro eo quod definitionem numerorum integrorum statuere conemur, initium capiemus supponentes eos, quidquid sint, quasdam proprietates satisfacere. Ad hoc seligitur systema axiomatum, quo omnes proprietates quas intuitu ad numeros integros referre solemus demonstrari possint.

Haec omnia fiunt per Peano Axiomata Numerorum Naturalium, dum operationes arithmeticae fundamentales introducuntur. Hoc modo axiomático utens et operationes diversas super naturales atque integros extendens, nova genera numerorum obtinentur, ut puta rationales, irrationales, reales, complexi, quaternionici, octonionici, et plura alia.

Postea, si numeros integros observemus, videbimus eos proprietates possidere quae in omnibus fere numerorum generibus repetuntur, ut existentia elementi neutri multiplicativi, neutri additivi, et leges distributivae. Quare de his rebus loquentes, sermonem constituere possumus qui nobis permittit de omnibus illis simul tractare. In hoc contextu emergunt vocabula ut

• Dominium Integritatis
• Annulus
• Coetus
• Spatium Vectoriale

Et multa alia huiusmodi vocabula. Nos autem nostras vires in studio Dominiorum Integritatis imprimis collocabimus.

Elementa Fundamentalia Communia Inter Domínia Integritátis et Números Íntegros

Ut explicemus quid sit dominium integritatis, utamur proprietatibus quae ex numeris integris bene cognoscuntur. In hoc contextu, si a, b, et c sint numeri integri, tunc valent leges

1. Commutativae:
   • a+b = b + a
   • ab = ba
2. Associativae:
   • a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c
   • (ab)c = abc = a(bc)
3. Distributivae:
   • a+(b+c) = a(b+c) = ab+ac

Praeterea, adsunt quaedam elementa specialia, scilicet neutra:

• Neutrale Additivum: a+ c = a \leftrightarrow c=0
• Neutrale Multiplicativum: ac = a \leftrightarrow c=1

Res cuius symbolum est 0 est neutrum adductionis; cui symbolum est 1 est neutrum multiplicationis.

Numeri integri etiam possident inversa additiva. Cuique numero integro respondet suum inversum additivum, quod cum ipso additum dat neutrum additivum.

• Inversum Additivum: a+ c = 0 \longleftrightarrow c=-a

Inversa additiva per signum “-” designantur quod eis adest.

Denique adest lex simplificationis, quae per relationem sequens exprimitur:

(c\neq 0 \wedge ca = cb) \longleftrightarrow (a=b)

Hae proprietates quas recensuimus valent etiam in multis aliis systematibus: realibus, complexis, polynomialibus, etc. Quamobrem Dominium Integritatis vocamus omnem collectionem quae his proprietatibus satisfacit.

DEFINITIO: Dominium integritatis est quaelibet collectio D, quae operationibus additionis et multiplicationis instructa est ita ut

• a,b\in D \longrightarrow a+b \in D
• a,b\in D \longrightarrow ab \in D

Praeterea satisfiunt leges associativae, commutativae et distributivae, D continet neutra additiva et multiplicativa (quorum utrumque unicum est), et denique valet lex simplificationis.

Exemplum Dominii Integritatis

Consideremus collectionem A=\{a+b\sqrt{3}\; |\; a,b\in \mathbb{Z}\}. Haec collectio, operationibus additionis et multiplicationis ordinariis instructa, est dominium integritatis quia leges commutativitatis, associativitatis et distributionis complet; habet neutra additiva et multiplicativa necnon etiam inversum additivum.

• Neutrale Additivum: 0+0\sqrt{3}
• Neutrale Multiplicativum: 1+0\sqrt{3}
• Inversum Additivum: Omni elemento a+b\sqrt{3} respondet inversum additivum -a-b\sqrt{3}

Et hoc maxime est momenti: Haec collectio A clausa est sub operationibus additionis et multiplicationis, id est, si x,y\in A tum x+y\in A et xy\in A. Quod facile comprobandum est: Si a_1 + b_1\sqrt{3} et a_2 + b_2\sqrt{3} sunt elementa A, tum habebimus

\begin{array}{rl} (a_1 + b_1\sqrt{3}) + (a_2 + b_2\sqrt{3}) &=(a_1+a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{3} \in A\\ \\ (a_1 + b_1\sqrt{3}) (a_2 + b_2\sqrt{3}) &= a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{3}+b_1a_2\sqrt{3} + 3b_1b_2 \\ &=(a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{3} \in A \end{array}

Proprietates Dominiorum Integritatis et Numerorum Integrorum

Neutrale Additivum Dominii Integritatis Unicum Est

Hoc demonstrari potest per reductionem ad absurdum: Fingamus duo neutra additiva existere, sint 0 et 0^\prime talia elementa. Tum habebimus:

\begin{array}{rll} (1) & 0\neq 0^\prime & \text{; Praemissa}\\ (2) & a+0 = a & \text{; Praemissa: $0$ est neutrum additivum}\\ (3) & b+0^\prime = b & \text{; Praemissa: $0^\prime$ est neutrum additivum}\\ (4) & 0^\prime + 0 = 0^\prime & \text{; Substituendo $a=0^\prime$ in $(2)$}\\ (5) & 0 + 0^\prime = 0 & \text{; Substituendo $b=0$ in $(3)$}\\ (6) & 0 = 0^\prime & \text{; Ex $(4,5)$ et commutativitate additionis}\\ (7) & \bot &\text{; Ex $(1,6)$} \end{array}

Ex hoc ratiocinio concludimus igitur:

\{0 \neq 0^\prime, a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash \bot.

Ergo, per reductionem ad absurdum habetur

\{a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash 0 = 0^\prime.

Id est, si duo neutra additiva adsint, tunc idem sunt, atque ideo est unicum.

Neutrale Multiplicativum Etiam Unicum Est

Demonstratio fere est omnino similis priori. Si duo adsint: 1 et 1^\prime, tunc sequens argumentatio fieri potest:

\begin{array}{rll} (1) & 1\neq 1^\prime & \text{; Praemissa}\\ (2) & 1\cdot a = a & \text{; Praemissa: $1$ est neutrum multiplicativum}\\ (3) & 1^\prime \cdot b = b & \text{; Praemissa: $1^\prime$ est neutrum multiplicativum}\\ (4) & 1\cdot 1^\prime = 1^\prime & \text{; Substituendo $a=1^\prime$ in $(2)$}\\ (5) & 1^\prime \cdot 1 = 1 & \text{; Substituendo $b=1$ in $(3)$}\\ (6) & 1 = 1^\prime & \text{; Ex $(4,5)$ et commutativitate}\\ (7) & \bot &\text{; Ex $(1,6)$} \end{array}

Ex quo concluditur igitur:

\{1 \neq 1^\prime, 1a= a, 1b = b\}\vdash \bot.

Ergo, per reductionem ad absurdum habetur

\{1a= a, 1b= b\}\vdash 1 = 1^\prime.

Id est, si duo neutra multiplicativa adsint, tunc idem sunt, atque ideo est unicum.

Valet Lex Simplificationis ad Additionem

Hoc est quod facimus cum terminos in aequatione removemus.

a+b = a+c \longleftrightarrow a = c

Non difficile est hanc rem demonstrare; satis est sequentem rationem sequi:

\begin{array}{rll} (1) & a+b = a+c & \text{; Praemissa} \\ (2) & a+b-a = a+c-a & \text{; Ex $(1)$, addito $-a$ utrique lateri} \\ (3) & (a-a)+b = (a-a)+c & \text{; Ex $(2)$, commutando et associando} \\ (4) & 0+b = 0+c & \text{; Ex $(3)$ et Inverso Additivo} \\ (5) & b = c & \text{; Ex $(4)$ et Neutro Additivo} \\ \end{array}

Quoniam haec ratio in utramque partem applicari potest eisdem gradibus, habetur:

a+b=a+c \dashv \vdash b=c

Quod aequivalet dicere

\vdash a+b=a+c \longleftrightarrow b=c

Neutrale Additivum Est Simul Absorbens Multiplicativum

Hoc simpliciter significat quod, pro omni a in dominio integritatis, valebit

a\cdot 0 = 0

Hoc quoque facile demonstratur, satis est sequentem rationem sequi:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+0) & \text{; Leges distributivae}\\ (2) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+a-a) & \text{; Ex $(1)$ et Inverso Additivo}\\ (3) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot a + a\cdot a - a\cdot a & \text{; Ex $(2)$ et Distributivitate}\\ (4) & a\cdot 0 = a\cdot a - a\cdot a & \text{; Ex $(3)$ et Simplificatio Additiva}\\ (5) & a\cdot 0 = 0 & \text{; Ex $(4)$ et Inverso Additivo}\\ \end{array}

Lēx Signōrum:

Productum quantitatum eiusdem signi semper est positivum; productum quantitatum contrariorum signorum semper est negativum. Huius proprietatis demonstratio quoque est facilis:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot b = a\cdot b + 0 & \text{; Neutrale Additivum}\\ (2) & a\cdot b = a\cdot b + (a)\cdot(-b) - (a)\cdot(-b) & \text{; Ex $(1)$ et Inverso Additivo}\\ (3) & a\cdot b = a\cdot (b -b) - (a)\cdot(-b) & \text{; Ex $(2)$ et Inverso Additivo}\\ (4) & a\cdot b = a\cdot 0 + (-a)\cdot(-b) & \text{; Ex $(3)$ et Inverso Additivo}\\ (5) & a\cdot b = (-a)\cdot(-b) & \text{; Ex $(4)$ et Absorbente Multiplicativo}\\ \end{array}

Igitur: ab = (-a)(-b)

Ad signa contraria, ratio similis est:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + 0 & \text{; Neutrale Additivum} \\ (2) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + a \cdot b - a \cdot b & \text{; Ex $(1)$ et Inverso Additivo} \\ (3) & a\cdot(-b) = a \cdot (b-b) - a \cdot b & \text{; Ex $(2)$ et Distributivitate} \\ (4) & a\cdot(-b) = a \cdot 0 - a \cdot b & \text{; Ex $(3)$ et Inverso Additivo} \\ (5) & a\cdot(-b) = - a \cdot b & \text{; Ex $(4)$ et Absorbente Multiplicativo} \\ \end{array}

Igitur: a(-b) = -a(b)

Si Productum Duorum Numerorum Est Nulla, Tum Alterutrum Est Nulla

Alia quoque proprietas quae saepe adhibetur est haec:

ab=0 \leftrightarrow (a=0 \vee b=0)

Demonstratio eius quoque est facilis:

\begin{array}{rll} (1) & \{a=0\} \models a\cdot b = 0 & \textbf{; Absorbens Multiplicativum} \\ (2) & \models a=0 \rightarrow a\cdot b = 0 &\text{; TD$(1)$} \\ (3) & \models \neg (a\cdot b = 0 ) \rightarrow \neg(a=0) &\text{; CPI$(2)$} \\ (4) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) &\text{; RTD$(3)$} \\ (5) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(b=0) &\text{; Similiter $(4)$} \\ (6) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; $\wedge$-int$(4,5)$} \\ (7) & \models (\neg (a\cdot b = 0 )) \rightarrow \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; TD$(6)$} \\ (8) & \models \neg(\neg(a=0) \wedge \neg(b=0) ) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; CPI$(7)$} \\ (9) & \models (a=0 \vee b=0) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; DM$(8)$} \\ (10)& \{a\neq 0 , a\cdot b=0\} \models b=0 & \textbf{; Absorbens Multiplicativum} \\ (11)& \{a\cdot b=0\} \models a\neq 0 \rightarrow b=0 & \text{; TD$(10)$} \\ (12)& \{a\cdot b=0\} \models \neg(a\neq 0) \vee b=0 & \text{; $\rightarrow$-Def$(11)$} \\ (13)& \{a\cdot b=0\} \models a=0 \vee b=0 & \text{; DN$(12)$} \\ (14)& \models (a\cdot b=0) \rightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; TD$(13)$} \\ (15)& \models (a\cdot b=0) \leftrightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; Ex$(9,14)$} \end{array}

Exercitia

Sint a, b et c quaecumque elementa dominii integritatis D. Demonstrare oportet sequentia proprietates valere:

1. (-a)=(-1)a [SOLUTIO]
2. -(a+b)=(-a) + (-b) [SOLUTIO]
3. a(-b)=-(ab) [SOLUTIO]
4. -(-a)=a [SOLUTIO]
5. a(b-c) = ab - ac [PROPOSITUM]
6. (a-b)+(b-c) = a-c [PROPOSITUM]
7. Pro omnibus a\in D existit unicum 1 tale ut a\cdot 1 = a [SOLUTIO]
8. xx = x \leftrightarrow (x=1 \vee x=0) [PROPOSITUM]