Vis Sustinentis

Cum de flotabilitate loquimur, primum cogitamus corpora levius ponderare cum in fluido immersa sunt. Exempli gratia, saxum quod sub aqua cum difficultate attolli posset, extra eam fere impossibile moveri esset. Hoc phaenomenon explicatur per apparentiam vis quae vocatur vis sustinens.

Cum obiectum in fluido immergitur, apparet vis sustinens sursum directa, aequalis ponderi liquidi a corpore immerso expulsi. Propter hoc, omnia corpora in fluido immersa partem ponderis sui amittere videntur, cum sit differentia virium inter diversas regiones corporis secundum altitudinem. Ita vis sustinens erit:

F_{emp} = F_2 - F_1

Cum P=F/A et P=\rho g h, possumus inferre F=\rho g A h, ubi \rho est densitas fluidi, h profunditas, A area superficiei ubi pressio applicatur, et g acceleratio gravitatis. His positis, vires in facies superiorem et inferiorem exercitae sunt:

F_1 = \rho g A h_1

F_2 = \rho g A h_2

Quare habetur:

\begin{array}{rl} F_{\text{empuje}} &= \rho g A h_2 - \rho g A h_1 \\ \\ &=\rho g A \underbrace{h_2 - h_1}_{\Delta h} \\ \\ &= \rho gV \\ \\ & = Pondus voluminis liquidi expulsi \end{array}

Hoc est quod vocatur principium Archimedis.

EXEMPLUM: Saxum 70[kg] in fundo lacus iacet. Si volumen eius est 3\cdot 10^4 [cm^3], quanta vis requiritur ut levetur?

SOLUTIO:

Vis sustinens super saxum dabitur per:

\begin{array}{rl} F_{\text{empuje}} &= \rho_{\text{agua}} g V_{roca} \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{kg}{m^3}\right] \cdot 9,81\left[\dfrac{m}{s^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 [cm^3] \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{kg}{m^3}\right] \cdot 9,81\left[\dfrac{m}{s^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 \left[\dfrac{m}{100}\right]^3 = 294[N] \end{array}

Dum vis ponderis saxi est:

F_{\text{peso}} = m_{\text{roca}}g = 70[kg] \cdot 9.81 \left[\dfrac{m}{s^2}\right]=686[N]

Itaque, ut saxum sub aqua levetur, sufficiet vi F = 686[N] - 294[N] = 392[N]. Sub aqua, hoc saxum fere dimidia vi levare potes quam extra eam opus esset.

De Flotabilitate et Principio Archimedis

Principium Archimedis nos adiuvat intellegere cur quaedam corpora fluitent cum in quibusdam fluidis immerguntur. Exempli gratia, lignum in aqua. Generaliter, obiectum in fluido fluitabit si densitas medii maior est quam illa obiecti, et fluitabit donec supra superficiem emineat. Corpus se attollet donec ad statum aequilibrii perveniat. Quomodo computare possumus portionem corporis quae supra fluidum emergit? Facile est computare.

Si aequamus vim ponderis cum vi sustinente, possumus computare quam portionem corporis supra superficiem exiet. Ratio talis est:

\begin{array}{rl} & F_{\text{peso}} = F_{\text{empuje}}\\ \\ \equiv & m_{\text{objeto}} g = m_{\text{sumergido}} g \\ \\ \equiv & \rho_{\text{objeto}}V_{\text{objeto}} g = \rho_{\text{sumergido}} V_{\text{sumergido}} g \\ \\ \equiv & \dfrac{\rho_{\text{objeto}}}{\rho_{\text{sumergido}}} = \dfrac{V_{\text{sumergido}}}{V_{\text{objeto}} } = Procentatio corporis immersi \end{array}

EXEMPLUM: Modellum simplex continens tamquam massa solida saxi supponit (cum densitate =2800[kg/m^3]) quae super mantum terrae circumiectum fluitat (cum densitate =3300[kg/m^3]). Supponentes continentem habere crassitudinem mediocris 35[km], calcula altitudinem mediam quae supra mantum eminere potest.

SOLUTIO:

Procentatio corporis immersi erit:

Procentatio immersi \displaystyle = \frac{\rho_{cuerpo}}{\rho_{fluido}}

Itaque, procentatio corporis quae non est immersa et quae supra mantum eminet erit:

Procentatio quae eminet \displaystyle = 1 - \frac{\rho_{cuerpo}}{\rho_{fluido}} = 1 - \frac{2800}{3300} \approx 0,15 = 15\%

Cum crassitudo mediocris sit 35[km], quod eminere in mediocris erit 15\% 35[km]\approx 5,3 [km].