La Fuerza de Empuje

Cuando hablamos sobre la flotabilidad, lo primero que pensamos es que los objetos tienden a pesar menos cuando están sumergidos en un fluido. Por ejemplo, una roca que bajo el agua se podría levantar con dificultad, fuera de ella sería casi imposible de mover. Este fenómeno se explica por la aparición de una fuerza llamada empuje.

Cuando un objeto es sumergido en un fluido, aparece una fuerza de empuje dirigida hacia arriba, igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo sumergido. Por esto, todos los cuerpos sumergidos en un fluido parecen perder parte de su peso, ya que existe una diferencia de fuerzas entre las distintas regiones del cuerpo según su profundidad. Así, la fuerza de empuje será:

F_{emp} = F_2 - F_1

Dado que P=F/A y P=\rho g h, podemos inferir que F=\rho g A h, siendo \rho la densidad del fluido, h la profundidad, A el área de la superficie donde se aplica la presión, y g la aceleración de gravedad. Con esto, las fuerzas ejercidas sobre las caras superior e inferior están dadas por:

F_1 = \rho g A h_1

F_2 = \rho g A h_2

Por lo tanto, se tiene:

\begin{array}{rl} F_{\text{empuje}} &= \rho g A h_2 - \rho g A h_1 \\ \\ &=\rho g A \underbrace{h_2 - h_1}_{\Delta h} \\ \\ &= \rho gV \\ \\ & =\text{Peso del volumen del líquido desplazado} \end{array}

Esto es lo que se conoce como el principio de Arquímedes.

EJEMPLO: Una roca de 70[kg] yace en el fondo de un lago. Si su volumen es de 3\cdot 10^4 [cm^3], ¿qué fuerza se necesita para levantarla?

SOLUCIÓN:

La fuerza de empuje sobre la roca estará dada por:

\begin{array}{rl} F_{\text{empuje}} &= \rho_{\text{agua}} g V_{roca} \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{kg}{m^3}\right] \cdot 9,81\left[\dfrac{m}{s^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 [cm^3] \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{kg}{m^3}\right] \cdot 9,81\left[\dfrac{m}{s^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 \left[\dfrac{m}{100}\right]^3 = 294[N] \end{array}

Mientras que la fuerza peso de la roca es:

F_{\text{peso}} = m_{\text{roca}}g = 70[kg] \cdot 9.81 \left[\dfrac{m}{s^2}\right]=686[N]

Por lo tanto, para levantar la roca bajo el agua, bastará con una fuerza de F = 686[N] - 294[N] = 392[N]. Bajo el agua, esta roca puede ser levantada con casi la mitad de la fuerza que necesitarías fuera de ella.

La Flotabilidad y el Principio de Arquímides

El principio de Arquímedes nos ayuda a entender por qué algunos objetos flotan cuando se sumergen en ciertos fluidos. Por ejemplo, la madera en el agua. En general, un objeto flota en un fluido si la densidad del medio es mayor que la del objeto, y flotará hasta sobresalir sobre la interfaz. El cuerpo se elevará hasta alcanzar una posición de equilibrio. ¿Cómo podemos calcular la porción del cuerpo que emerge sobre el fluido? Es fácil de calcular.

Si igualamos la fuerza peso con la fuerza de empuje, podemos calcular qué porción del cuerpo saldrá sobre la interfaz. El razonamiento es el siguiente:

\begin{array}{rl} & F_{\text{peso}} = F_{\text{empuje}}\\ \\ \equiv & m_{\text{objeto}} g = m_{\text{sumergido}} g \\ \\ \equiv & \rho_{\text{objeto}}V_{\text{objeto}} g = \rho_{\text{sumergido}} V_{\text{sumergido}} g \\ \\ \equiv & \dfrac{\rho_{\text{objeto}}}{\rho_{\text{sumergido}}} = \dfrac{V_{\text{sumergido}}}{V_{\text{objeto}} } = \text{Porcentaje del cuerpo sumergido} \end{array}

EJEMPLO: Un modelo sencillo supone un continente como un bloque sólido de roca (con densidad =2800[kg/m^3]) que flota sobre el manto terrestre circundante (con densidad =3300[kg/m^3]). Suponiendo que el continente tiene un espesor promedio de 35[km], calcule la altura media que sobresale sobre el manto.

SOLUCIÓN:

El porcentaje del cuerpo sumergido será:

Porcentaje sumergido \displaystyle = \frac{\rho_{cuerpo}}{\rho_{fluido}}

Por lo tanto, el porcentaje del cuerpo que no está sumergido y que sobresale sobre el manto será:

Porcentaje que sobresale \displaystyle = 1 - \frac{\rho_{cuerpo}}{\rho_{fluido}} = 1 - \frac{2800}{3300} \approx 0,15 = 15\%

Como el espesor promedio es de 35[km], lo que sobresale en promedio será 15\% 35[km]\approx 5,3 [km].