Æquatio Hyperbolarum eiusque Deductio

Summarium:
In hac lectione definitionem geometricam hyperbolæ explorabimus, eam cum ellipsi comparabimus, et eius æquationem generalem ac canonicam deducemus.

Propositi Discendi:
Hac lectione peracta discipulus poterit:

Definire geometrice quid sit hyperbola.
Deducere æquationem generalem et canonicam hyperbolarum ex definitione geometrica.
Agoscere differentias inter ellipses et hyperbolas respectu distantiarum focalium.

INDEX CONTENTORUM
Definitio Geometrica Hyperbolæ
Deductio Æquationis Hyperbolarum
Æquatio Generalis Hyperbolarum
Æquatio Canonica Hyperbolarum

Definitio Geometrica Hyperbolæ

Prius æquationem ellipsium et circulorum recognovimus et invenimus eam formam habere $ax^2 + bx + cy^2 + dy + e = 0$ , ubi $a$ et $b$ sunt quantitates a zero distinctæ eodem signo. De hoc dictum est quod si $a$ et $b$ signa contraria habent, tunc loco ellipsis habetur Hyperbola. Nihil ultra de his curvis diximus, sed nunc illud vacuum implebimus. Studium nostrum perficemus definitione geometrica hyperbolæ proposita et ex ea æquationes generales et canonicas hyperbolarum obtinebimus.

Ex una parte, ellipsis definiri potest ut collectio omnium punctorum quorum summa distantiarum ad duo puncta, quæ foci vocantur, semper eadem est. Similiter, sed e contrario, hyperbola definitur ut collectio omnium punctorum quorum differentia absoluta distantiarum ad puncta focalia est semper eadem.

Id est, satisfit relatio:

$|d(f_1,P) - d(f_2,P)| = 2a$

Ubi $a$ est quælibet quantitas realis fixa.

Hoc revera duas æquationes generat, scilicet: $d(f_1,P) - d(f_2,P) = 2a$ et $d(f_2,P) - d(f_1,P) = 2a$ , unam pro qualibet rami hyperbolæ.

Deductio Æquationis Hyperbolarum

Ex definitione geometrica elici potest repraesentatio algebraica hyperbolarum; hoc propositum ex casu simplicissimo incipiemus atque inde generalizationes extendemus. Ratiocinatio nostra pro una tantum ramorum hyperbolæ fiet; pro altera rami analogum est argumentum.

Deductio Formæ Simplificatæ

Consideremus duo puncta focalia $f_1 = (-c,0)$ et $f_2 = (c,0).$ Punctum $p = (x,y)$ in hyperbola continebitur si

$\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a$

Et hinc sequitur ratio hæc:

$\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a$	; æquatio hyperbolarum
$\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} - \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} = 2a$	; quadratorum extensio
$\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} = 2a + \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; terminos redistribuentes
$\color{red}{x^2} + 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} + \color{red}{x^2} - 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2}$	; quadratum utrinque elevatum
$2xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} - 2xc$	; terminos similes sublati
$4xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; terminos similes ordinati
$xc = a^2 + a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; terminos similes simplicati
$xc - a^2 = a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; terminos similes simplicati
$x^2c^2 -2xca^2 + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2)$	; quadratum utrinque elevatum
$x^2c^2 \color{red}{-2xca^2} + a^4 = a^2x^2 \color{red}{- 2xca^2} + a^2c^2 + a^2y^2$	; parentesi tractati
$x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2$	; terminos similes sublati
$x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2)$	; terminos reordinati
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1$	; terminos reordinati

Ad ultimam expressionem, sicut in ellipsibus, sumitur $b^2=c^2-a^2$ atque æquatio hyperbolarum obtinetur

$\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 }$

Æquatio Generalis Hyperbolarum

Ad obtinendam æquationem generalem hyperbolarum, satis est eam quam modo deduximus accipere et transformationes positionis applicare

x\longmapsto x-h

y\longmapsto y-k

atque hoc modo statim obtinemus æquationem generalem hyperbolarum centro $(h,k)$

$\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 }$

Æquatio Canonica Hyperbolarum

Et si nunc accipiamus æquationem generalem hyperbolarum et eam explicemus, perveniemus ad expressionem canonicam:

$\displaystyle \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; Æquatio generalis hyperbolarum
$b^2 (x^2 - 2xh + h^2) - a^2(y^2-2ky + y^2) = a^2b^2$	; quadrata resoluta et omnia multiplicata per $a^2b^2$
$b^2 x^2 - 2hb^2x + h^2b^2 - a^2 y^2+ 2k a^2 y - a^2 k^2 = a^2b^2$	; parenteses resoluti
$b^2 x^2 - (2hb^2) x - a^2 y^2+ (2k a^2) y - (a^2b^2 + a^2 k^2 - h^2b^2) = 0$	; terminos similes collectos

Hoc ultimum est expressio formæ $Ax^2+Bx + Cy^2 + Dy + E = 0,$ ubi $A$ et $C$ sunt semper a zero distincta et signis contrariis, prout iam antea prævidimus cum ellipses tractaremus.