ニュートンの法則

要約:
本講義ではニュートンの法則とそれが物体の力学に果たす役割を扱う。質量と速度がどのように線形運動量を決定するかを探り、三つの法則を説明する。すなわち、外力が存在しない場合に運動状態を維持する慣性、力と加速度の関係、そして物体間の作用と反作用である。平面上の滑りや振り子の運動といった例を通してこれらの法則の適用を示し、最後に学習を定着させるための実践的な演習で締めくくる。

学習目標:
本講義を終えた学生は以下ができるようになる:

1. 理解する ニュートンの三法則とその物体力学への応用。
2. 適用する ニュートンの法則を用いて力学の問題を分析し解決する。
3. 特定する 質量、速度、線形運動量の関係。
4. 分析する 力学研究における慣性系観測者の重要性。
5. 説明する ニュートンの第二法則が力と加速度をどのように結びつけるか。
6. 記述する 慣性質量の概念と、それを異なる物体間で比較する方法。

内容目次
序論
物体の力学に関するニュートンの法則
ニュートンの法則の使い方
ニュートンの法則を用いた問題解決

序論

もしこれまでに復習した前回の授業における運動学が物体の運動を記述することを可能にするのであれば、ニュートンの法則によって運動の原因（あるいは運動状態の変化）について論じることができる力学を得ることができる。ここで位置と時間の概念が重要である。なぜなら、これらの観点から速度と加速度を定義するからである。しかしこれに加えて、質量という追加の要素が存在する。

質量は物体の運動状態、すなわち線形運動量を定義する上で重要である。物体の線形運動量 \vec{p} は、質量と速度の積であるとされる。

\Large \vec{p}=m\vec{v}

運動状態はニュートンの法則の背後にある主要な概念である。

物体の力学に関するニュートンの法則

第一法則（慣性の法則）:

外部の作用が存在しない場合、すべての物体はその運動状態を一定に保つ。

ニュートンの第一法則は、物理学にとって極めて重要な二つの問題を提示する卓越したものである。第一に最も明白な点は、線形運動量を保存される量として定めることである。第二に同様に重要であるがより暗黙的な点は、慣性系観測者というものを定義できることである。

観測者を定義する方法は数多く存在するが、その中でも特別な種類があり、それを慣性系観測者と呼ぶ。違いは、慣性系観測者の視点から見ると、外部の作用がない場合に物体の運動状態が保存量となる点にある。

慣性系観測者とそうでない観測者を区別するものは何か？

違いは、慣性系観測者の視点から見ると、外部の作用がない場合に物体の運動状態が保存量となる点にある。

第二法則（力と質量）:

慣性系観測者の視点から見ると、外部の作用によって物体に加えられる力は、その運動状態の変化に等しい。

言い換えれば、もし物体に力 \vec{F} が加えられるならば、次のようになる。

\Large \displaystyle \vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}

よく知られている「力は質量×加速度に等しい」という関係 \vec{F}=m\vec{a}, は、ニュートンの第二法則の帰結にすぎない。それは微分の性質と質量保存から導かれる。

\begin{array}{rl} \vec{F} & =\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(m\vec{v} \right) \\ \\ & =\displaystyle \underbrace{\frac{dm}{dt}}_{= 0}\vec{v} + m \underbrace{\frac{d\vec{v}}{dt}}_{= \vec{a}} = m\vec{a} \end{array}

最後の段階では dm/dt=0 と考える。これは質量が加えられたり取り除かれたりしないと仮定しているからである。そして d\vec{v}/dt は加速度の定義である。

慣性質量

ニュートンの第二法則は、質量の概念をさらに明確にする。ここでは力と加速度の比例定数として現れる。質量が大きいほど、同じ加速度を得るためにはより大きな力が必要となる。この結果、質量は物体の慣性の尺度として理解され、そこから慣性質量という名称が生じる。慣性系観測者に対して相対的に静止している二つの物体に、同じ力（物質の交換なし）が作用する場合、次の関係が成り立つ。

m_1 \vec{a}_1 = \vec{F} = m_2 \vec{a}_2

これに基づき、加速度の大きさの比を通じて物体の質量を比較することができる。

\displaystyle \frac{m_1}{m_2} = \frac{\|\vec{a_2}\|}{\|\vec{a_1}\|}

したがって、もし m_2 が「1キログラムの基準」であるならば、\|\vec{a}_2\|/\|\vec{a}_1\| の比を観察するだけで、m_1 が何キログラムであるかを知ることができる。

第三法則（作用・反作用の法則）:

もし物体Aが物体Bに「作用」として力を加えるならば、Bは同じ大きさで逆向きの「反作用」としてAに力を加える。

ニュートンの第三法則は、力についてより正確に語ることを可能にするだけでなく、外力を加える主体もまたそれに影響を受ける物理的対象であることを明示的に定めている。

• 外部の作用主体は、力の影響を受け得る物理的対象である。
• 力は決して孤立して存在せず、必ず「作用・反作用対」として発生し、それらのベクトル和は常にゼロとなる。
• 作用・反作用の対は常に異なる物体に生じるため、ある物体に作用する全力が必ずしもゼロであるとは限らない。

作用・反作用対は常に一直線上で働くため、これにより後に学ぶ角運動量保存が導かれる。

これらに加えて、ニュートンの第三法則は暗黙的にいくつかのことを述べている。

• 物体に非ゼロの合力を加えるためには、少なくとも第二の物体が必要である。
• 作用と反作用は同時に発生する。二つの物体が遠隔で（重力や電磁気を介して）相互作用できるため、ニュートン力学では必然的に情報を無限の速度で伝達する仕組みが存在しなければならない。しかし、特殊相対性理論によれば最大速度は真空中の光速であるため、この第三法則は現実の近似であるとされる。

ニュートンの法則をどのように使うか？

ニュートンの法則がどのように利用され、その意味が明確になるのかを理解するためには、具体的な状況に基づく例と自由物体図の作成に頼るのが最も良い方法である。

自由物体図

自由物体図とは、ある物体に作用する力を表現する図式である。重量について復習したことに基づき、次のような自由物体図の例を構築できる。

水平面上に置かれた物体

重力のため、質量をもつすべての物体は地面に向かう力を受ける。ニュートンの第二法則により、この力は質量と重力加速度 \vec{g}=-g\hat{y}, の積で表される。ここで g=9,81[m/s^2]. である。

\vec{F}_{peso}=m\vec{g} = -mg\hat{y}

我々が「物体の重さ」と理解しているものは、実際にはこの重量の力の大きさである。

{peso}=\|\vec{F}_{peso}\|= mg

ブロックを水平面に置くと、作用・反作用の力対が現れる。これらは重量の力と法線力である。これらの力は大きさが等しく方向が逆であるため、物体に作用する力のベクトル和はゼロとなり、その結果、物体の運動状態は時間とともに一定に保たれる。

水平面上での滑り

次にブロックをロープで結び、それを引っ張ることを想像してみよう。以下の自由物体図に示されている。

ここでは二つの作用・反作用の対が現れることがわかる。一方では、物体の重量と法線力に関連する対であり、さらにブロックを引くロープの両端に関連する第三の作用・反作用対がある。最後に、加えられた力 \vec{F}_1 と摩擦力 \vec{F}_{roce}, に関連する対があり、その最大値は \mu\|\vec{F}_\textnormal{normal}\| で与えられる。

摩擦係数と摩擦力

ここで \mu は摩擦係数であり、二つの表面間の滑りに対する抵抗を表す。摩擦係数には二種類あり、一つは動摩擦係数（\mu_c）、もう一つは静摩擦係数（\mu_e）である。静摩擦は物体が静止しているときに現れ、動摩擦は物体が滑り始めたときに現れる。

\begin{array}{lcr}\mu = \left\{\begin{array}{lll} \mu_e & ;& \textnormal{静止している物体} \\ \\ \mu_c & ;& \textnormal{運動している物体} \end{array}\right. & ; & \textnormal{ここで } \mu_c \leq \mu_e\end{array}

摩擦力はそれを受ける物体の運動に逆らい、（単純化した形で）次の式で表すことができる。

\vec{F}_\textnormal{roce} ( \vec{F}_1 ) = \left\{ \begin{array}{lll} - \vec{F}_1 & ; & \|\vec{F}_1\| \leq \mu_e \|\vec{F}_\textnormal{normal}\| \\ \\ -\mu_c \|\vec{F}_\textnormal{normal}\|\hat{x} & ; & \mu_e \|\vec{F}_\textnormal{normal}\| \lt \|\vec{F}\| \end{array} \right.

印加される力が最大静止摩擦力以下であれば、物体は床に対して静止したままである。もし印加される力が静止摩擦を超えると、物体は運動を開始し、摩擦は動摩擦となる。このとき物体に作用する合力は \vec{F}_{neta} = \vec{F}_1 - \mu_c\|\vec{F}_\textnormal{normal}\|\hat{x}, となり、物体は加速度 \vec{a} = \vec{F}_{neta}/M で運動する。さらに、物体が動き始めた後に印加される力が動摩擦力と等しくなると、その物体は一定の速度で運動する。

傾斜面上での滑り

物体が傾斜角 \alpha の面を滑るとき、次のような力の図が得られる。

ここでは便宜上、水平座標が滑りの平面に沿うように基準系を選んでいる。この図では、重力が二つの成分に分けられる。一つは運動に平行であり、もう一つは運動に垂直である。

• 平行成分: \vec{F}_{\textnormal{peso},x}=mg\sin(\alpha)\hat{x}
• 垂直成分: \vec{F}_{peso,y}=-mg\cos(\alpha)\hat{y}

摩擦力は重力の平行成分に対する反作用として現れ、法線力は重力の垂直成分に対する反作用として現れる。もし重力の水平成分が最大静止摩擦力を超えるならば、ブロックの運動状態は変化し、次の加速度で運動する。

\displaystyle \vec{a} = mg\left(\frac{\sin(\alpha) - \mu_c \cos(\alpha)}{m}\right)\hat{x}

吊り下げられた質量

天井に結ばれたロープから吊り下げられ、静止している質量は、次の自由物体図をもつ。

天井に結ばれたロープから吊り下げられ、静止している質量は次の自由物体図をもつ。

ロープには「張力」と呼ばれる力の対が働き、ロープが伸びない場合、これらの力は等しく反対向きである。ブロックにも二つの力、すなわち重量とロープの張力が作用する。ブロックが吊り下げられて静止している場合、重量と張力は等しく反対向きである。ここには示されていない第四の力があり、それはロープを天井に固定している力である。これら四つの力が二つの作用・反作用対を構成している。

単振り子の運動

伸びないロープに質量が結ばれ、天井に固定され、自らの重さによって平衡位置を中心に振動するものを単振り子と呼ぶ。下にその自由物体図を示す。

ロープが伸びないため、半径方向の加速度はゼロであり、その結果次が成り立つ。

F_{p,\parallel} + T = ma_{\parallel}(t) = 0

一方、ロープに垂直な成分については次のようになる。

F_{p,\bot}=-mg\sin(\theta) = ma_{\bot}(t)

この最後の式から、単振り子の角位置 \theta を時間の関数としてモデル化する微分方程式を導くことができる。

\displaystyle \frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0

しかし、この方程式の導出や、それに基づいて行える推論については後ほど詳しく見ることにする。

ニュートンの法則を用いた問題解決

次の問題をニュートンの法則を用いて解きなさい。

1. 質量 15[kg] のブロックが水平面上に置かれている。ブロックと面の間には静止摩擦 \mu_e=0,55 と動摩擦 \mu_c=0,31 がある。
   1. ブロックを動かすのに必要な最小の力はいくらか。
   2. 前の小問で得られた力によってブロックが動き始めたときの加速度を求めよ。
2. 質量 12[kg] のブロックが傾斜可能な平面上に置かれている。静止摩擦係数が \mu_e=0,03, のとき、ブロックが静止したままでいられる最大傾斜角を求めよ。
3. 質量 75[kg] のブロックが、水平に対して 30^o の傾斜面を一定速度で上昇している。このとき、ブロックと面の間の動摩擦係数が \mu_c=0,21, であるならば、水平に加えられる力の大きさを求めよ。
4. 質量 m_1 と m_2 が、質量のない伸びないロープで結ばれ、図のように滑車を通っている場合を考える。両質量の加速度を求めよ。
   
5. 質量 M の柔らかいロープが二つの壁の間に吊り下げられ、結合点で角度 \alpha を形成している。このとき、ロープの最下点における張力を求めよ。
   
6. 質量 m の物体が半径 R の円を一定の角速度 \omega で x,y 平面上を回転している。物体に加えられる力を求めよ。