放物線とそのグラフの特徴付け
要約：
この授業では、放物線の一般式と標準形からの特徴付けを見直し、頂点、焦点、準線、対称軸、X軸との交点などの主要要素を識別する方法について説明します。
学習目標：
この授業の終了時に、学生は以下ができるようになります：
- 計算する： 放物線の一般式および標準形から頂点、焦点、準線の位置を計算する。
- 変換する： 標準形の方程式を一般式に変換して幾何学的情報を抽出する。
- 概略図を描く： 得られた情報をもとに放物線のグラフを概略的に描く。
放物線の一般式と標準形
前回の授業では、放物線は以下のような一般式で代数的に表現できることを学びました。
(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)
ここで、(x_0,y_0) は頂点の座標であり、f は焦点距離です。もし f \gt 0 であれば、焦点は頂点の上に f だけの距離にあり、f\lt 0 であれば、焦点は頂点の下に f だけの距離にあります。
また、放物線の方程式を標準形に変形すると、2次式として表すことができることも確認しました。
y(x) = ax^2 + bx + c, ただし a\neq 0
放物線の特徴付けとは 以下の情報を明らかにすることです。
- 頂点の座標
- 焦点の座標
- 準線の方程式
- 対称軸の方程式
- X軸との交点（存在する場合）
- 最後に、収集した情報をもとにグラフの概略図を作成する。
一般式からの放物線の特徴付け
放物線が一般式で表されている場合、その特徴付けに必要な情報のほとんどは既に得られています。X軸との交点のみが追加の解析を必要とします。
(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)
この式から以下が分かります：
- 頂点： 座標 (x_0,y_0) の点
- 焦点の位置： 頂点の上に f 単位
- 焦点： 座標 (x_0,y_0 + f) の点
- 準線： 方程式 y= y_0 - f の直線
- 対称軸： 方程式 x= x_0 の直線
X軸との交点を求めるには、一般式を標準形に変換し、得られた2次方程式をゼロに等しくして解きます。解が存在すれば、それがX軸との交点となります。
標準形からの放物線の特徴付け
放物線の方程式が標準形で与えられている場合、2つの方法が存在します：1) 一般式に変換して特徴付ける方法、2) 対称性とX軸との交点を利用する方法。どちらの方法にも利点があります。後者は通常より迅速ですが、放物線が必ずしもX軸と交差するとは限りません。前者は少し複雑ですが、後ほど見るように自動化が容易です。ここでは両方の方法を検討し、あなたの好みと必要に応じて選べるようにします。
一般式への変換
一般式への変換は、以下のような推論によって行われます。ここで a,b,c\in\mathbb{R} かつ a\neq 0 です。
| (1) | y=ax^2 + bx + c | ; 放物線の標準形 |
| y=a\left[x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right] | ; a でくくる | |
| y=a\left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a}\right] | ; なぜなら \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2} だから | |
| y=a\left[ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a^2} \right] | ||
| y=a \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a} | ||
| y=a \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right) | ||
| \left[x - \left(- \dfrac{b}{2a}\right)\right]^2 = \dfrac{1}{a} \left[y - \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)\right] | ||
| \left[x - \left( -\dfrac{b}{2a}\right)\right]^2 = 4\left(\dfrac{1}{4a}\right) \left[y - \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)\right] | ; 放物線の一般式 |
ここから、一般式におけるパラメータと標準形のパラメータを関連付けることによって、一般式から得られたすべての情報を抽出することができます。このようにして次のことが得られます：
- 頂点： 座標 (x_0,y_0) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} \right) の点
- 焦点の位置： 頂点の上に f = \dfrac{1}{4a} 単位
- 焦点： 座標 (x_0,y_0 + f) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{1}{4a}\right) =\left(-\dfrac{b}{2a}, c +\dfrac{1-b^2}{4a}\right) の点
- 準線： 方程式 y=y_0 - f= c -\dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{1}{4a} = c -\dfrac{1 + b^2}{4a} の直線
- 対称軸： 方程式 x= x_0 = -\dfrac{b}{2a} の直線
そしてここから、放物線の特徴付けはこれまで見てきた通り、一般式を使って行うことができます。
対称性とX軸との交点を利用する
放物線の方程式が標準形 y=ax^2 + bx+c で表されている場合、X軸との交点を求めるのは比較的容易です。次の方程式を解くだけで済みます：
ax^2 + bx + c = 0
これが解ける場合、交点 x_1 および x_2 は次のように与えられます：
x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
放物線は対称性を持つため、対称軸の方程式は次のようになります：
x = x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}= -\dfrac{b}{2a}
対称軸は必ず放物線の頂点を通り、その頂点の座標は次の通りです：
(x_0, y_0) = (x_0, y(x_0)) = \left( -\dfrac{b}{2a}, y\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \right)
ここで
y_0 = y\left(-\dfrac{b}{2a} \right) = a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\dfrac{b}{2a}\right) + c = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{b^2}{2a} + c = c - \dfrac{b^2}{4a}
このようにして、他の方法ですでに得られていた頂点の座標に再びたどり着くことができます：
(x_0, y_0) = \left( -\dfrac{b}{2a},c - \dfrac{b^2}{4a} \right)
焦点距離は既に確認したように f=\dfrac{1}{4a} であり、これにより準線や焦点など、一般式から得ていたすべての情報を再び計算することが可能です。
Excelによる自動特徴付け
ここまでの論理を踏まえれば、Excel を使って任意の放物線の特徴付けを自動化するのは非常に簡単です。具体的な例は こちら で確認できます。