विद्युत क्षेत्र की अवधारणा

19वीं शताब्दी में, माइकल फैराडे, जो बिजली के क्षेत्र में सबसे महान प्रयोगकर्ताओं में से एक थे, काम करने का एक अनूठा तरीका अपनाते थे। वह अपने प्रयोगशाला को तारों, आवेशित गोले और प्रवाहकीय तरल पदार्थों से भरे छोटे बर्तनों से भर देते थे। एक प्रसिद्ध कहानी बताती है कि विद्युत आवेश के चारों ओर “बल रेखाओं” को देखने के अपने जुनून में, उन्होंने पूरे प्रयोगशाला में लोहे की फाइलिंग बिखेर दी, जिससे फर्श पर ऐसे पैटर्न बन गए जो आधुनिक कला जैसे दिखते थे। उनके सहयोगियों ने, भ्रमित होकर, सोचा कि वह अपना मानसिक संतुलन खो चुके हैं, लेकिन फैराडे एक सबसे क्रांतिकारी अवधारणा को परिभाषित कर रहे थे: विद्युत क्षेत्र। इस लेख में, हम इस बात की पड़ताल करेंगे कि ये विचार, जो प्रतिभा और प्रयोगों से उत्पन्न हुए थे, हमें उन अदृश्य परस्पर क्रियाओं को मैप और समझने की अनुमति कैसे देते हैं जो बिजली को नियंत्रित करते हैं। यदि आपने कभी यह जानने की इच्छा की है कि अमूर्त को कैसे देखा जाए, तो यह यात्रा आपके लिए है।

अध्ययन के उद्देश्य:
इस कक्षा को समाप्त करने के बाद, छात्र निम्नलिखित कार्य करने में सक्षम होंगे:

1. समझें विद्युत क्षेत्र की अवधारणा और इसे कूलॉम्ब के नियम के माध्यम से बल के साथ संबंध।
2. लागू करें विद्युत क्षेत्र की परिभाषा को बिंदु आवेश से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए।
3. विश्लेषण करें असतत और सतत आवेश वितरण में अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र की गणना।
4. मूल्यांकन करें जटिल विन्यास में विद्युत क्षेत्र निर्धारित करने के लिए रेखीय, सतही और आयतन वितरण का एकीकरण।
5. हल करें व्यावहारिक अभ्यास जिसमें आवेशित छड़, आवेशित अंगूठी और अनंत आवेशित तल की संरचनाएं शामिल हैं।

सामग्री की सूची:
विद्युत क्षेत्र क्या है?
विद्युत क्षेत्र और आवेश वितरण
अभ्यास

विद्युत क्षेत्र क्या है?

जब हम किसी स्थान पर एक स्रोत आवेश रखते हैं, तो हम एक परीक्षण आवेश का उपयोग करके उसकी उपस्थिति को महसूस कर सकते हैं, क्योंकि यह परीक्षण आवेश उस स्थान पर विद्युत बल महसूस करता है। इस बल का अध्ययन कूलॉम्ब के नियम के माध्यम से किया जाता है। इस पर आधारित, हम कहते हैं कि स्रोत आवेश “स्थान को भर देता है” एक गुणधर्म के साथ, जिसे विद्युत क्षेत्र कहते हैं, जो विद्युत बल उत्पन्न करने के लिए जिम्मेदार है।

किसी स्थान \vec{r} पर q आवेश के विद्युत क्षेत्र को मापने के लिए, हमें उस स्थान पर एक परीक्षण आवेश q_0 रखना होगा। विद्युत क्षेत्र को इस प्रकार वर्णित किया जाएगा कि परीक्षण आवेश q_0 द्वारा महसूस किया गया विद्युत बल प्रति इकाई आवेश।

\vec{E}_q(\vec{r}) = \displaystyle \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}

लेकिन जब हम इस तरीके से आगे बढ़ते हैं, तो हम इस तथ्य को अनदेखा कर रहे हैं कि परीक्षण आवेश का भी अपना विद्युत क्षेत्र होना चाहिए, और यह स्रोत आवेश के क्षेत्र के साथ अध्यारोपित होगा। इस समस्या को हल करने के लिए, हम सीमा के माध्यम से विद्युत क्षेत्र की बात करते हैं:

\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}

सीमा के माध्यम से परिभाषा का उपयोग करके, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि परीक्षण आवेश q_0 का क्षेत्र q के क्षेत्र की माप में हस्तक्षेप न करे। अब, कूलॉम्ब के नियम को याद करते हुए, एक आवेशित कण q का विद्युत क्षेत्र निम्नलिखित रूप में है:

\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{1}{q_0} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qq_0}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^2} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^3}

और, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि:

\displaystyle \vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r}) = q_0 \vec{E}_q(\vec{r})

विद्युत क्षेत्र और आवेश वितरण

चूंकि विद्युत क्षेत्र बल के संदर्भ में अध्ययन किया जाता है, और यह अध्यारोपण के सिद्धांत का पालन करता है, हम विभिन्न आवेश वितरणों के क्षेत्र का अध्ययन कर सकते हैं।

असतत वितरण

मान लें कि हमारे पास n असतत आवेशों का एक वितरण है q_1, q_2, \cdots, q_n, जिनकी स्थितियाँ हैं \vec{r}^\prime_1, \vec{r}^\prime_2, \cdots, \vec{r}^\prime_n. यदि हम किसी बिंदु \vec{r} पर उनके क्षेत्र की गणना करना चाहते हैं, तो होगा:

\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i \frac{\vec{r} -\vec{r}_i^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}_i^\prime\|^3}

अर्थात सभी व्यक्तिगत क्षेत्रों का योग।

सतत वितरण

सतत आवेश वितरण तीन प्रकार के होते हैं, प्रत्येक उस स्थानिक व्यवस्था को वर्णित करने के लिए आवश्यक मापदंडों की संख्या से जुड़ा होता है। ये प्रकार रैखिक वितरण, सतही वितरण और आयतन वितरण हैं।

रैखिक वितरण

एक रैखिक आवेश वितरण में, आवेशित वस्तु के प्रत्येक रेखा तत्व में रैखिक आवेश घनत्व \lambda(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dl होता है, जिससे विद्युत क्षेत्र का सूक्ष्म भाग इस प्रकार होता है:

d\vec{E}(\vec{r}) =\displaystyle \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\lambda(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl

इस अभिव्यक्ति को समाकलित करने पर हमें मिलता है:

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathcal{C}} \lambda(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl

जहाँ \mathcal{C} उस वक्र का पैरामीट्रिक निरूपण है जो आवेशित वस्तु के आकार का वर्णन करता है।

सतही वितरण

एक सतही आवेश वितरण में, आवेशित वस्तु के प्रत्येक सतह तत्व में सतही आवेश घनत्व \sigma(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dS होता है, जिससे विद्युत क्षेत्र का सूक्ष्म भाग इस प्रकार होता है:

\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\sigma(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS

इस अभिव्यक्ति को समाकलित करने पर हमें मिलता है:

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint_{\mathcal{A}} \sigma(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS

जहाँ \mathcal{A} उस सतह का पैरामीट्रिक निरूपण है जो आवेशित वस्तु के आकार का वर्णन करता है।

आयतन वितरण

एक आयतन आवेश वितरण में, आवेशित वस्तु के प्रत्येक आयतन तत्व में आयतन आवेश घनत्व \rho(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dV होता है, जिससे विद्युत क्षेत्र का सूक्ष्म भाग इस प्रकार होता है:

\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}^\prime) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV

इस अभिव्यक्ति को समाकलित करने पर हमें मिलता है:

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathcal{V}} \rho(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV

जहाँ \mathcal{V} उस आयतन का पैरामीट्रिक निरूपण है जो आवेशित वस्तु के आकार का वर्णन करता है।

अभ्यास:

आवेशित छड़

एक लंबाई L की छड़ पर विचार करें, जो समान रूप से Q आवेश से भरी हो और इसे लंबवत रखा गया हो। छड़ के केंद्र से x क्षैतिज दूरी पर विद्युत क्षेत्र का निर्धारण करें।

आवेशित अंगूठी

एक R त्रिज्या की अंगूठी पर विचार करें, जो समान रूप से Q आवेश से भरी हो और xy समतल पर स्थित हो। अंगूठी के केंद्र से z ऊंचाई पर विद्युत क्षेत्र का निर्धारण करें।

अनंत आवेशित तल

एक अनंत आवेशित तल पर विचार करें, जो सतह आवेश घनत्व \sigma से भरा हो। इस तल से L दूरी पर विद्युत क्षेत्र का निर्धारण करें।