प्राकृतिक संख्याएं और पीयानो के सिद्धांत
सारांश
इस कक्षा में प्राकृतिक संख्याओं और पीयानो के सिद्धांतों के माध्यम से उनकी परिभाषा पर चर्चा की गई है: कुछ गणितीय सिद्धांत जो उनके मौलिक गुणों को स्थिर करते हैं। यह भी बताता है कि प्राकृतिक संख्याओं के उत्तराधिकारियों को प्रतिष्ठित करने के लिए प्रतीक कैसे उपयोग किया जाता है, वे प्रतीकात्मक रूप से कैसे प्रतिष्ठित किए जाते हैं और प्रेरणा सिद्धांत का उपयोग कैसे किया जाता है गणितीय सिद्धांतों के लिए प्रेरणात्मक परीक्षण करने के लिए।
अधिगम उद्देश्य
- पीयानो के सिद्धांतों को प्राकृतिक संख्याओं के फार्मूला के लिए समझें।
- प्राकृतिक संख्याओं के प्रतीकात्मक प्रतिष्ठान के फार्मूला को समझें।
सूची
पीयानो के सिद्धांत प्राकृतिक संख्याओं के लिए
प्राकृतिक संख्याओं में प्रेरणा सिद्धांत
प्रमाण पर टिप्पणी
पीयानो के सिद्धांत प्राकृतिक संख्याओं के लिए
जो प्राकृतिक संख्याएं, जिसे सकारात्मक पूर्ण संख्या भी कहा जाता है, वे हैं जिन्हें हम गिनती और मापने के लिए उपयोग करते हैं। यह गिनती की क्रिया में सबसे प्राकृतिक रूप से प्रस्तुत होता है, जो गणित की सबसे सरल क्रिया है। इन संख्याओं को पीयानो के सिद्धांत के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, एक ऐसा सिद्धांत जो ये निर्धारित करता है कि ये संख्याएं कैसे काम करती हैं।
- “1” एक प्राकृतिक संख्या है
- अगर n एक प्राकृतिक है, तो उसका उत्तराधिकारी S(n) भी है।
- “1” किसी भी प्राकृतिक संख्या का उत्तराधिकारी नहीं है।
- अगर S(n) = S(m), तो n=m।
- अगर 1 किसी समूह A का हिस्सा है; और अगर किसी भी k के लिए A में, S(k) भी A में है, तो A प्राकृतिक संख्याओं का समूह है और इसे \mathbb{N} द्वारा दर्शाया जाता है।
पीयानो के सिद्धांतों का अध्ययन करते समय हम यह समझते हैं कि प्रतीक “1” वास्तव में केवल एक विशिष्ट प्राकृतिक संख्या को सूचित करने के लिए उपयोग किया जाता है। इस संख्या को इन गुणों के साथ पूरा किया जाता है। जैसे 1 “पहले प्राकृतिक” को प्रतिष्ठित करता है, हम उसके उत्तराधिकारियों को प्रतिष्ठित करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करते हैं (जो हमारे लिए परिचित हैं)।
- 2=S(1)
- 3=S(2)
- 4=S(3) \\ \vdots
और इसी तरह। इस तरह, प्रतीक 1, 2, 3, आदि … वास्तव में 1 के विभिन्न उत्तराधिकारी हैं। इन सभी वस्त्रों का संग्रह प्राकृतिक संख्या है और हम इसे निम्नलिखित तरीके से प्रतिष्ठित करते हैं:
\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots \}
यह भी कहा जाता है कि प्राकृतिक संख्याएं एक अनुक्रम में रखी जाती हैं, प्राकृतिक संख्याओं का अनुक्रम:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots
प्राकृतिक संख्याओं में प्रेरणा का सिद्धांत
प्राकृतिक संख्याओं का एक महत्वपूर्ण पहलु है कि हर एक के बाद हमेशा एक संख्या होती है, इसका अर्थ है कि प्राकृतिक संख्याओं की अनंत संख्या है। हम इसे पाँचवे अक्षर से अनुमान लगा सकते हैं, या प्रेरणा का सिद्धांत, जो निम्नलिखित तरीके से व्यक्त होता है:
यदि किसी गुण को 1 के लिए सत्य माना जाए; और यदि स्वीकार किया जाए कि यह किसी भी प्राकृतिक k के लिए सत्य है, तो यह अगले के लिए भी सत्य है S(k); तो ऐसा गुण सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य माना जाएगा।
प्रेरणा का सिद्धांत प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक मौलिक आधार प्रदान करता है, यह प्राकृतिक संख्याओं पर किसी गुण को साबित करने के लिए एक उपयोगी उपकरण भी है। इसे देखने के लिए चलिए एक साधारण उदाहरण देखते हैं:
उदाहरण: प्रेरणा के सिद्धांत के माध्यम से हम यह प्रमाणित कर सकते हैं कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या अपने उत्तराधिकारी से भिन्न है। |
हालांकि यह एक स्पष्टता है, यह तब समझने में मदद करता है जब प्रेरणा के माध्यम से साबित किया जाता है। >प्रमाण:
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प्रदर्शनों पर टिप्पणी
हालांकि उदाहरण में व्यक्त किया गया गुण बहुत स्पष्ट है, गणित में यह आम तौर पर होता है कि प्रदर्शन इस स्पष्टता को बनाए नहीं रखते हैं। हम जो प्रदर्शन देख चुके हैं, वह उदाहरण है कि आम तौर पर गणित में काम करते समय क्या किया जाता है। गणित की खासीयत के अनुमान तकनीकों को समझने में मदद पाने के लिए, मैं आपको सुझाव दूंगा कि आप गणितीय तर्क पाठ्यक्रम के लिए निर्धारित सामग्री की समीक्षा करें।