परिचय

यदि हमने पहले की कक्षाओं में समीक्षा की गई गति-विज्ञान में शरीरों की गति का वर्णन किया है, तो न्यूटन के नियमों के माध्यम से हमें गतिकी प्राप्त होती है जो हमें गति के कारणों (या गति की स्थिति में बदलाव) पर विचार करने की अनुमति देती है। यहां स्थिति और समय की अवधारणाएं महत्वपूर्ण होती हैं, क्योंकि हम इनकी मदद से वेग और त्वरण को परिभाषित करते हैं, लेकिन इनमें एक अतिरिक्त तत्व होता है: द्रव्यमान।

द्रव्यमान गति की स्थिति को निर्धारित करने में महत्वपूर्ण है, या रेखीय गतिकी। यह कहा जाता है कि किसी वस्तु का रेखीय गतिकी \vec{p}, द्रव्यमान और वेग का गुणनफल होता है।

\Large \vec{p}=m\vec{v}

गति की स्थिति न्यूटन के नियमों के पीछे का प्रमुख विचार है।

शरीरों की गतिकी पर न्यूटन के नियम

पहला नियम (जड़त्व का नियम):

बाहरी कारकों की अनुपस्थिति में, सभी शरीर अपनी गति की स्थिति को स्थिर रखते हैं।

न्यूटन का पहला नियम भौतिकी के लिए गहरी महत्वपूर्ण दो बिंदुओं की स्थापना करने की महारत है। पहला और सबसे स्पष्ट: यह रेखीय गतिकी को एक संरक्षित मात्रा के रूप में स्थापित करता है; और दूसरा, जो समान रूप से महत्वपूर्ण है लेकिन अधिक निहित है, यह हमें यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि एक जड़त्वीय पर्यवेक्षक क्या है।

एक पर्यवेक्षक को परिभाषित करने के कई तरीके हैं, लेकिन उनमें से सभी में एक विशेष वर्ग होता है जिसे हम जड़त्वीय पर्यवेक्षक कहते हैं। अंतर यह है कि, एक जड़त्वीय पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से, बाहरी कारक की अनुपस्थिति में शरीर की गति की स्थिति एक संरक्षित मात्रा होती है।

एक जड़त्वीय पर्यवेक्षक को अन्य से क्या अलग करता है?

अंतर यह है कि, एक जड़त्वीय पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से, बाहरी कारक की अनुपस्थिति में शरीर की गति की स्थिति एक संरक्षित मात्रा होती है।

दूसरा नियम (बल और द्रव्यमान):

जड़त्वीय पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से, एक बाहरी कारक द्वारा एक शरीर पर लगाया गया बल उसकी गति की स्थिति में परिवर्तन के बराबर होता है।

अन्य शब्दों में, यदि एक शरीर पर एक बल लगाया जाता है \vec{F}, तो हमें मिलेगा:

\Large \displaystyle \vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}

प्रसिद्ध “बल द्रव्यमान और त्वरण के बराबर होता है” संबंध, \vec{F}=m\vec{a}, केवल न्यूटन के दूसरे नियम का परिणाम है, जिसे व्युत्पन्न की गुणों और द्रव्यमान की संरक्षा से प्राप्त किया गया है।

\begin{array}{rl} \vec{F} & =\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(m\vec{v} \right) \\ \\ & =\displaystyle \underbrace{\frac{dm}{dt}}_{= 0}\vec{v} + m \underbrace{\frac{d\vec{v}}{dt}}_{= \vec{a}} = m\vec{a} \end{array}

अंतिम चरण में, यह माना गया है कि dm/dt=0 क्योंकि यह मान लिया गया है कि कोई द्रव्यमान जोड़ा या घटाया नहीं जा रहा है, और d\vec{v}/dt त्वरण की परिभाषा है।

जड़त्वीय द्रव्यमान

न्यूटन का दूसरा नियम इसके अलावा द्रव्यमान की अवधारणा पर भी स्पष्टता लाता है। यहां यह बल और त्वरण के बीच एक अनुपात स्थिरांक के रूप में प्रकट होता है। अधिक द्रव्यमान होने पर, समान त्वरण प्राप्त करने के लिए बल भी अधिक होना चाहिए; इस कारण से, द्रव्यमान को शरीरों के जड़त्व के माप के रूप में समझा जाता है और इसलिए इसे जड़त्वीय द्रव्यमान कहा जाता है। यदि दो शरीर एक जड़त्वीय पर्यवेक्षक के सापेक्ष स्थिर हैं और उन पर समान बल काम करता है (बिना किसी सामग्री के आदान-प्रदान के), तो हमें मिलेगा:

m_1 \vec{a}_1 = \vec{F} = m_2 \vec{a}_2

इसके माध्यम से हम शरीरों के द्रव्यमान की तुलना कर सकते हैं, जो उनकी त्वरण के परिमाण के अनुपात के माध्यम से होता है।

\displaystyle \frac{m_1}{m_2} = \frac{\|\vec{a_2}\|}{\|\vec{a_1}\|}

इसलिए, अगर m_2 “एक मानक किलोग्राम” है, तो हमें केवल अनुपात \|\vec{a}_2\|/\|\vec{a}_1\| का निरीक्षण करना है यह जानने के लिए कि m_1 में कितने किलोग्राम हैं।

तीसरा नियम (क्रिया और प्रतिक्रिया):

यदि एक वस्तु A दूसरी वस्तु B पर एक “क्रिया” बल लगाती है, तो B भी A पर समान परिमाण का परंतु विपरीत दिशा में “प्रतिक्रिया” बल लगाती है।

न्यूटन का तीसरा नियम न केवल बलों के बारे में अधिक सटीकता से बात करने की अनुमति देता है, बल्कि यह स्पष्ट रूप से यह भी स्थापित करता है कि बल लगाने वाले बाहरी कारक भी भौतिक वस्तुएं हैं जो बलों से प्रभावित हो सकती हैं:

• बाहरी कारक एक भौतिक वस्तु है जो बलों से प्रभावित हो सकती है।
• बल कभी भी अकेले नहीं होते हैं, बल्कि वे हमेशा जोड़ों में होते हैं जिन्हें “क्रिया-प्रतिक्रिया जोड़े” कहा जाता है, और उन जोड़ों का वेक्टर योग हमेशा शून्य होता है।
• क्रिया-प्रतिक्रिया जोड़े हमेशा अलग-अलग शरीरों पर होते हैं, जिससे कि किसी एक शरीर पर कुल बल जरूरी नहीं कि शून्य हो।

क्योंकि क्रिया-प्रतिक्रिया जोड़े हमेशा एक सीधी रेखा पर होते हैं, इससे वह आता है जिसे हम बाद में देखेंगे कि वह कोणीय गतिकी की संरक्षा है।

इन बातों के अलावा, न्यूटन का तीसरा नियम और कुछ बातें भी निहित करता है:

• किसी शरीर पर गैर-शून्य शुद्ध बल लागू करने के लिए, कम से कम एक दूसरा वस्तु होना आवश्यक है।
• क्रिया और प्रतिक्रिया एक साथ होती हैं। क्योंकि दो शरीर दूरी से बातचीत कर सकते हैं (गुरुत्वाकर्षण या विद्युतचुम्बकीयता के माध्यम से), इसलिए न्यूटन के यांत्रिकी में जरूरी है कि एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक जानकारी अनंत गति से स्थानांतरित की जा सके। हम जानते हैं कि यह असंभव है, क्योंकि विशेष सापेक्षता के अनुसार अधिकतम गति शून्य में प्रकाश की गति है, इसलिए हम कहते हैं कि यह तीसरा नियम वास्तविकता का एक अनुमान है।

न्यूटन के नियमों का उपयोग कैसे करें?

यह समझने के लिए कि न्यूटन के नियमों का उपयोग कैसे किया जाता है ताकि उनका अर्थ स्पष्ट हो, सबसे अच्छा है कि ठोस स्थितियों पर आधारित उदाहरणों और स्वतंत्र शरीर आरेखों का उपयोग करें।

स्वतंत्र शरीर आरेख

एक स्वतंत्र शरीर आरेख वह चित्रण है जिसमें हम किसी शरीर पर कार्य करने वाली बलों को प्रदर्शित करते हैं। वजन के बारे में जो हमने समीक्षा की है उसके आधार पर, हम स्वतंत्र शरीर आरेख के निम्नलिखित उदाहरण बना सकते हैं।

एक शरीर जो एक क्षैतिज तल पर रखा गया है

गुरुत्वाकर्षण के कारण, सभी शरीर जिनका द्रव्यमान होता है, एक बल का अनुभव करते हैं जो जमीन की ओर होता है। न्यूटन के दूसरे नियम के माध्यम से हम देखते हैं कि यह बल द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण त्वरण के गुणनफल के द्वारा दिया गया है \vec{g}=-g\hat{y}, जहाँ g=9.81[m/s^2].

\vec{F}_{वजन}=m\vec{g} = -mg\hat{y}

हम जो “वजन” के रूप में समझते हैं, वह वास्तव में यह वजन बल है जो हमने अभी देखा है।

{वजन}=\|\vec{F}_{वजन}\|= mg

जब हम एक ब्लॉक को एक क्षैतिज तल पर रखते हैं, तो एक क्रिया-प्रतिक्रिया बल जोड़ी उत्पन्न होती है: यह वजन बल और सामान्य बल हैं। ये बल परिमाण में समान हैं लेकिन दिशा में विपरीत हैं, ताकि शरीर पर बलों का वेक्टर योग शून्य हो और इसलिए उसकी गति की स्थिति समय के साथ स्थिर बनी रहती है।

एक क्षैतिज तल पर स्लाइड करना

कल्पना करें कि अब ब्लॉक को एक रस्सी से बांधा गया है और हम उसे खींचते हैं जैसा कि निम्न स्वतंत्र शरीर आरेख में दिखाया गया है:

यहां हम क्रिया-प्रतिक्रिया के दो जोड़े देख सकते हैं: एक ओर, हमारे पास शरीरों के बल वजन और सामान्य बल से संबंधित जोड़े हैं, रस्सी के सिरों से जुड़े क्रिया-प्रतिक्रिया का एक तीसरा जोड़ा है जिसमें व्यक्ति ब्लॉक को खींचता है, और अंत में, लागू बल \vec{F}_1 और घर्षण बल \vec{F}_{घर्षण}, जिनका अधिकतम मूल्य \mu\|\vec{F}_\textnormal{सामान्य}\|. होता है।

घर्षण गुणांक और घर्षण बल

यहाँ \mu घर्षण गुणांक है, जो दो सतहों के बीच स्लाइडिंग के प्रति विरोधाभास व्यक्त करता है; घर्षण गुणांक के दो संस्करण होते हैं: एक गतिज (\mu_c) और एक स्थिर (\mu_e)। स्थिर घर्षण तब प्रकट होता है जब शरीर स्थिर रहता है जबकि गतिज घर्षण तब प्रकट होता है जब शरीर स्लाइड करना शुरू कर देता है।

\begin{array}{lcr}\mu = \left\{\begin{array}{lll} \mu_e & ;& \textnormal{शरीर स्थिर है} \\ \\ \mu_c & ;& \textnormal{शरीर गति में है} \end{array}\right. & ; & \textnormal{जहाँ } \mu_c \leq \mu_e\end{array}

घर्षण बल उस शरीर की गति के विरोध में होता है जो इसे अनुभव करता है और इसे निम्नलिखित अभिव्यक्ति के माध्यम से मॉडल किया जा सकता है (सरलीकृत रूप में):

\vec{F}_\textnormal{घर्षण} ( \vec{F}_1 ) = \left\{ \begin{array}{lll} - \vec{F}_1 & ; & \|\vec{F}_1\| \leq \mu_e \|\vec{F}_\textnormal{सामान्य}\| \\ \\ -\mu_c \|\vec{F}_\textnormal{सामान्य}\|\hat{x} & ; & \mu_e \|\vec{F}_\textnormal{सामान्य}\| \lt \|\vec{F}\| \end{array} \right.

जब लगाया गया बल स्थिर घर्षण की अधिकतम सीमा से कम या बराबर होता है, तो शरीर जमीन के सापेक्ष स्थिर रहता है। यदि लगाया गया बल स्थिर घर्षण से अधिक होता है, तो शरीर गति में आ जाता है और घर्षण गतिज हो जाता है, इसलिए शरीर पर शुद्ध बल होता है: \vec{F}_{शुद्ध} = \vec{F}_1 - \mu_c\|\vec{F}_\textnormal{सामान्य}\|\hat{x}, और इसलिए यह त्वरण \vec{a} = \vec{F}_{शुद्ध}/M के साथ चलता है। यदि एक बार शरीर गति में आ जाने के बाद, लगाया गया बल गतिज घर्षण के बराबर हो जाता है, तो शरीर स्थिर गति से चलता है।

झुके हुए तल पर स्लाइड करना

जब एक वस्तु झुके हुए तल पर स्लाइड करती है एक कोण \alpha के साथ, हमें निम्नलिखित बल आरेख मिलता है:

यहां और सुविधा के लिए, एक संदर्भ प्रणाली चुनी गई है ताकि क्षैतिज निर्देशांक स्लाइडिंग तल के साथ संरेखित हो। इस आरेख में, वजन बल को दो घटकों में विभाजित किया गया है: एक गति के समानांतर और दूसरा लंबवत।

• समानांतर घटक: \vec{F}_{\textnormal{वजन},x}=mg\sin(\alpha)\hat{x}
• लंबवत घटक: \vec{F}_{वजन,y}=-mg\cos(\alpha)\hat{y}

घर्षण बल वजन बल की गति के समानांतर घटक के प्रतिक्रिया के रूप में प्रकट होता है, और सामान्य बल वजन बल के लंबवत घटक के प्रतिक्रिया के रूप में। यदि वजन बल का क्षैतिज घटक स्थिर घर्षण की अधिकतम सीमा से अधिक होता है, तो ब्लॉक की गति की स्थिति एक त्वरण के साथ बदलती है:

\displaystyle \vec{a} = mg\left(\frac{\sin(\alpha) - \mu_c \cos(\alpha)}{m}\right)\hat{x}

लटकता हुआ द्रव्यमान

एक द्रव्यमान जो एक रस्सी से जुड़ा हुआ है और एक छत से जुड़ा हुआ है और जो स्थिर रहता है, उसका निम्नलिखित स्वतंत्र शरीर आरेख है:

एक द्रव्यमान जो एक रस्सी से जुड़ा हुआ है और एक छत से जुड़ा हुआ है और जो स्थिर रहता है, उसका निम्नलिखित स्वतंत्र शरीर आरेख है:

रस्सी पर एक जोड़ा बल होता है जिसे हम “तनाव” कहते हैं, यदि रस्सी अव्यवहनीय है, तो ये बल समान और विपरीत होते हैं। ब्लॉक पर भी एक जोड़ा बल होता है: वजन और रस्सी का तनाव। यदि ब्लॉक लटकता हुआ और स्थिर रहता है, तो वजन और तनाव विपरीत और समान परिमाण के होते हैं। यहां एक चौथा बल है जो यहां नहीं दिखाया गया है, जो रस्सी को छत से जोड़ता है; इन चार बलों का समूह दो क्रिया-प्रतिक्रिया जोड़े बनाता है।

सरल पेंडुलम की गति

एक द्रव्यमान जो एक अव्यवहनीय रस्सी से जुड़ा हुआ है, और यह छत से जुड़ा हुआ है, जो अपने संतुलन स्थिति के आसपास दोलन करता है, इसे हम सरल पेंडुलम कहते हैं। नीचे इसका स्वतंत्र शरीर आरेख है।

क्योंकि रस्सी अव्यवहनीय है, हमारे पास होता है कि रेडियल त्वरण शून्य होता है, और परिणामस्वरूप:

F_{p,\parallel} + T = ma_{\parallel}(t) = 0

दूसरी ओर, रस्सी के लंबवत घटक के लिए, हमारे पास होगा:

F_{p,\bot}=-mg\sin(\theta) = ma_{\bot}(t)

इस अंतिम अभिव्यक्ति से, हम एक अवकल समीकरण निकाल सकते हैं जो हमें सरल पेंडुलम के कोणीय स्थिति \theta को समय के साथ मॉडल करने की अनुमति देगा:

\displaystyle \frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0

लेकिन इस समीकरण का प्राप्ति और इसके द्वारा की जा सकने वाली व्युत्पत्तियों की जांच हम बाद में विस्तार से करेंगे।

न्यूटन के नियमों का उपयोग करके समस्याओं का समाधान

न्यूटन के नियमों का उपयोग करके निम्नलिखित समस्याओं का समाधान करें:

1. एक ब्लॉक जिसका द्रव्यमान 15[kg] है, क्षैतिज सतह पर रखा गया है। ब्लॉक और सतह के बीच एक स्थिर घर्षण \mu_e=0.55 और एक गतिज घर्षण \mu_c=0.31 है।
   1. ब्लॉक को गति में लाने के लिए न्यूनतम आवश्यक बल क्या होगा?
   2. जब यह पहले प्राप्त बल के कारण गति में आता है, तो ब्लॉक का त्वरण निकालें।
2. एक ब्लॉक जिसका द्रव्यमान 12[kg] है, एक झुकने योग्य तल पर रखा गया है। यदि स्थिर घर्षण गुणांक \mu_e=0.03 है, तो उस अधिकतम झुकाव कोण को निर्धारित करें जिससे ब्लॉक स्थिर रहेगा।
3. एक ब्लॉक जिसका द्रव्यमान 75[kg] है, एक झुके हुए तल पर 30^o कोण पर क्षैतिज दिशा में लागू बल के कारण स्थिर गति से ऊपर की ओर बढ़ता है। यदि ब्लॉक और तल की सतह के बीच गतिज घर्षण गुणांक \mu_c=0.21, है, तो उस बल की मात्रा निर्धारित करें जो लागू किया गया है।
4. दो द्रव्यमान m_1 और m_2 पर विचार करें जो एक अव्यवहनीय, बिना द्रव्यमान की रस्सी के माध्यम से जुड़ी होती है जो एक पुली से होकर गुजरती है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। दोनों द्रव्यमानों का त्वरण निकालें।
   
5. एक लचीली रस्सी जिसका द्रव्यमान M है, दो दीवारों के बीच लटकी हुई है जो जुड़ने के बिंदुओं पर एक कोण \alpha बनाती है। सबसे निचले बिंदु पर रस्सी का तनाव निकालें।
   
6. एक शरीर जिसका द्रव्यमान m है, x,y तल पर एक स्थिर कोणीय वेग \omega के साथ एक त्रिज्या R के साथ वृतों में घूमता है। उस शरीर पर लागू बल का निर्धारण करें।