अखंडता डोमेन और पूर्णांक संख्याएँ

सारांश:
इस कक्षा में अखंडता डोमेन की अवधारणा का परिचय दिया गया है, इसके महत्व को सामान्य बीजगणित के अध्ययन में समझाया गया है, और इसकी कुछ महत्वपूर्ण गुणों को औपचारिक प्रमाणों के माध्यम से प्रदर्शित किया गया है।

सीखने के उद्देश्य:
इस कक्षा के अंत तक, छात्र सक्षम होंगे:

1. समझें कि सामान्य बीजगणित का अध्ययन क्यों किया जाता है।
2. समझें कि अखंडता डोमेन की अवधारणा क्या है।
3. समझाएँ कि अखंडता डोमेन और पूर्णांक संख्याओं के बीच सामान्य मौलिक विशेषताएँ क्या हैं।
4. सिद्ध करें कि अखंडता डोमेन के मूलभूत गुण औपचारिक प्रमाणों के माध्यम से सत्यापित किए जा सकते हैं।

सामग्री सूची
सामान्य बीजगणित का उद्देश्य और पूर्व ज्ञान
पूर्णांक संख्याओं से अखंडता डोमेन तक
अखंडता डोमेन और पूर्णांक संख्याओं के सामान्य मौलिक पहलू
अखंडता डोमेन और पूर्णांक संख्याओं के गुण
अभ्यास

सामान्य बीजगणित का उद्देश्य और पूर्व ज्ञान

सामान्य बीजगणित का मुख्य उद्देश्य सभी संभावित गणितीय प्रणालियों का अध्ययन करना है। यहां, हम कई ऐसी प्रणालियों का अध्ययन करेंगे, और उनमें से सबसे महत्वपूर्ण प्राकृतिक संख्याएँ और पूर्णांक संख्याएँ हैं। इन्हीं पूर्णांक संख्याओं के माध्यम से हम अखंडता डोमेन तक पहुँचेंगे।

\mathbb{N}= \{1,2,3,4,\cdots\}

\mathbb{Z}= \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\cdots\}

पूर्णांक संख्याओं से अखंडता डोमेन तक

हम अपने अध्ययन की शुरुआत पूर्णांक संख्याओं से करेंगे, और ऐसा करने का कारण यह है कि वे उन अधिकांश संख्यात्मक प्रणालियों से सबसे अधिक समानता रखते हैं जिन्हें हम इस अध्ययन में देखेंगे।

पूर्णांक संख्याएँ क्या हैं, इसे परिभाषित करने का प्रयास करने के बजाय, हम यह मानकर शुरुआत करेंगे कि वे जो भी हों, कुछ निश्चित गुणों को संतुष्ट करते हैं। इसके लिए, हम ऐसे स्वयंसिद्ध (axioms) चुनते हैं जो हमें उन सभी गुणों को निकालने की अनुमति देते हैं जिन्हें हम सहज रूप से पूर्णांकों से जोड़ते हैं।

ये सभी चीजें पीयानो स्वयंसिद्ध (Peano Axioms) के माध्यम से की जाती हैं, जहाँ प्राकृतिक संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ (operations) परिभाषित की जाती हैं। इस स्वयंसिद्ध पद्धति का अनुसरण करके और प्राकृतिक संख्याओं एवं पूर्णांकों पर विभिन्न संक्रियाओं का विस्तार करके, हमें नए संख्यात्मक समूह प्राप्त होते हैं, जैसे कि परिमेय संख्याएँ (rational numbers), अपरिमेय संख्याएँ (irrational numbers), वास्तविक संख्याएँ (real numbers), सम्मिश्र संख्याएँ (complex numbers), क्वाटरनियन (quaternions), ऑक्टोनियन (octonions) और इसी प्रकार अनेक अन्य।

इसके बाद, यदि हम पूर्णांक संख्याओं को देखें, तो पाएंगे कि इनमें कुछ गुण होते हैं जो अन्य सभी संख्यात्मक समूहों में दोहराए जाते हैं, जैसे कि गुणन के लिए तटस्थ तत्व (multiplicative identity), योग के लिए तटस्थ तत्व (additive identity), और वितरणीय नियम (distributive laws)। इन अवधारणाओं का उपयोग करके, हम एक ऐसी भाषा स्थापित कर सकते हैं जो हमें इन सभी समूहों के बारे में एक साथ चर्चा करने की अनुमति देती है। इसी संदर्भ में, निम्नलिखित शब्द उभरते हैं:

• अखंडता डोमेन (Integrity Domain)
• वलय (Ring)
• समूह (Group)
• सदिशीय स्थान (Vector Space)

और इसी तरह कई अन्य गणितीय शब्द… हम अपनी ऊर्जा पहले अखंडता डोमेन का अध्ययन करने में लगाएंगे।

अखंडता डोमेन और पूर्णांक संख्याओं के सामान्य मौलिक पहलू

अखंडता डोमेन क्या है इसे समझाने के लिए, हम उन गुणों का उपयोग करेंगे जिन्हें हम पूर्णांक संख्याओं से अच्छी तरह समझते हैं। इस संदर्भ में, यदि a, b और c पूर्णांक संख्याएँ हैं, तो निम्नलिखित नियम सत्य होते हैं:

1. परिवर्तनीयता (Commutativity):
   • a+b = b + a
   • ab = ba
2. सहसंयोजकता (Associativity):
   • a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c
   • (ab)c = abc = a(bc)
3. वितरणीयता (Distributivity):
   • a+(b+c) = a(b+c) = ab+ac

इसके अलावा, कुछ विशेष तत्व होते हैं जिन्हें तटस्थ तत्व (neutral elements) कहा जाता है।

• संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व (Additive Identity): a+ c = a \leftrightarrow c=0
• गुणात्मक तटस्थ तत्व (Multiplicative Identity): ac = a \leftrightarrow c=1

जिस वस्तु का प्रतीक 0 है, उसे संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व कहा जाता है, और जिसका प्रतीक 1 है, वह गुणात्मक तटस्थ तत्व होता है।

पूर्णांक संख्याओं के पास संवर्धनात्मक व्युत्क्रम (additive inverses) भी होते हैं। प्रत्येक पूर्णांक संख्या के लिए एक संवर्धनात्मक व्युत्क्रम होता है, जो उससे जोड़ने पर संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व प्रदान करता है।

• संवर्धनात्मक व्युत्क्रम (Additive Inverse): a+ c = 0 \longleftrightarrow c=-a

संवर्धनात्मक व्युत्क्रम को उनके साथ जुड़े चिह्न “-” से पहचाना जाता है।

अंततः, एक सरलीकरण नियम (Law of Simplification) होता है, जिसे निम्नलिखित संबंध द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(c\neq 0 \wedge ca = cb) \longleftrightarrow (a=b)

ये गुण जो हमने देखे हैं, कई अन्य संख्यात्मक समूहों जैसे कि वास्तविक संख्याएँ, सम्मिश्र संख्याएँ, बहुपद (polynomials) आदि पर भी लागू होते हैं। इसलिए, उन सभी समूहों को जो इन गुणों को संतुष्ट करते हैं, अखंडता डोमेन (Integrity Domain) कहा जाता है।

परिभाषा (Definition): एक अखंडता डोमेन वह कोई भी समूह D होता है, जिसमें जोड़ने और गुणा करने की संक्रियाएँ इस प्रकार परिभाषित होती हैं कि:

• a,b\in D \longrightarrow a+b \in D
• a,b\in D \longrightarrow ab \in D

इसके अलावा, सहसंयोजकता (associativity), परिवर्तनीयता (commutativity) और वितरणीयता (distributivity) के नियम संतुष्ट होते हैं। D में संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व (additive identity) और गुणात्मक तटस्थ तत्व (multiplicative identity) होते हैं (जो अद्वितीय होते हैं), और अंततः, सरलीकरण नियम (law of simplification) भी लागू होता है।

अखंडता डोमेन का उदाहरण

हम निम्नलिखित समूह पर विचार करें A=\{a+b\sqrt{3}\; |\; a,b\in \mathbb{Z}\}. यह समूह, जब सामान्य जोड़ और गुणा संक्रियाओं के साथ परिभाषित किया जाता है, तो एक अखंडता डोमेन बनाता है, क्योंकि यह परिवर्तनीयता, सहसंयोजकता और वितरणीयता के नियमों को संतुष्ट करता है। इसमें एक संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व, एक गुणात्मक तटस्थ तत्व और एक संवर्धनात्मक व्युत्क्रम होता है।

• संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व: 0+0\sqrt{3}
• गुणात्मक तटस्थ तत्व: 1+0\sqrt{3}
• संवर्धनात्मक व्युत्क्रम: प्रत्येक तत्व a+b\sqrt{3} का संवर्धनात्मक व्युत्क्रम -a-b\sqrt{3} होता है।

और सबसे महत्वपूर्ण बात, यह समूह A जोड़ और गुणा संक्रियाओं के लिए बंद (closed) है, जिसका अर्थ है कि यदि हम x,y\in A लें, तो यह सत्य होगा कि x+y\in A और xy\in A. इसे सिद्ध करना सरल है: यदि a_1 + b_1\sqrt{3} और a_2 + b_2\sqrt{3} तत्व A के सदस्य हैं, तो:

\begin{array}{rl} (a_1 + b_1\sqrt{3}) + (a_2 + b_2\sqrt{3}) &=(a_1+a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{3} \in A\\ \\ (a_1 + b_1\sqrt{3}) (a_2 + b_2\sqrt{3}) &= a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{3}+b_1a_2\sqrt{3} + 3b_1b_2 \\ &=(a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt{3} \in A \end{array}

अखंडता डोमेन और पूर्णांक संख्याओं के गुण

अखंडता डोमेन में संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व अद्वितीय होता है

इसे विसंगति द्वारा अपानयन (reductio ad absurdum) से सिद्ध किया जा सकता है: मान लें कि दो संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व मौजूद हैं, अर्थात् 0 और 0^\prime। तब हमें मिलेगा:

\begin{array}{rll} (1) & 0\neq 0^\prime & \text{; प्रत्यय (Premise)}\\ (2) & a+0 = a & \text{; प्रत्यय: $0$ संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व है}\\ (3) & b+0^\prime = b & \text{; प्रत्यय: $0^\prime$ संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व है}\\ (4) & 0^\prime + 0 = 0^\prime & \text{; $(2)$ में $a=0^\prime$ प्रतिस्थापित करके}\\ (5) & 0 + 0^\prime = 0 & \text{; $(3)$ में $b=0$ प्रतिस्थापित करके}\\ (6) & 0 = 0^\prime & \text{; $(4,5)$ और योग की परिवर्तनशीलता (commutativity) से}\\ (7) & \bot &\text{; $(1,6)$ से विसंगति प्राप्त होती है} \end{array}

इस तर्क के आधार पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि:

\{0 \neq 0^\prime, a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash \bot.

इसलिए, विसंगति द्वारा अपानयन से, हमें मिलता है

\{a + 0 = a, b + 0^\prime = b\}\vdash 0 = 0^\prime.

अर्थात, यदि दो संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व मौजूद हों, तो वे समान होने चाहिए, और इसलिए तटस्थ तत्व अद्वितीय होता है।

गुणात्मक तटस्थ तत्व भी अद्वितीय होता है

इसका प्रमाण भी लगभग पिछले प्रमाण के समान है। यदि दो गुणात्मक तटस्थ तत्व 1 और 1^\prime मौजूद हों, तो निम्नलिखित तर्क प्रस्तुत किया जा सकता है:

\begin{array}{rll} (1) & 1\neq 1^\prime & \text{; प्रत्यय (Premise)}\\ (2) & 1\cdot a = a & \text{; प्रत्यय: $1$ गुणात्मक तटस्थ तत्व है}\\ (3) & 1^\prime \cdot b = b & \text{; प्रत्यय: $1^\prime$ गुणात्मक तटस्थ तत्व है}\\ (4) & 1\cdot 1^\prime = 1^\prime & \text{; $(2)$ में $a=1^\prime$ प्रतिस्थापित करके}\\ (5) & 1^\prime \cdot 1 = 1 & \text{; $(3)$ में $b=1$ प्रतिस्थापित करके}\\ (6) & 1 = 1^\prime & \text{; $(4,5)$ और गुणा की परिवर्तनशीलता (commutativity) से}\\ (7) & \bot &\text{; $(1,6)$ से विसंगति प्राप्त होती है} \end{array}

इसलिए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि:

\{1 \neq 1^\prime, 1a= a, 1b = b\}\vdash \bot.

अतः, विसंगति द्वारा अपानयन (reductio ad absurdum) से, हमें मिलता है:

\{1a= a, 1b= b\}\vdash 1 = 1^\prime.

अर्थात, यदि दो गुणात्मक तटस्थ तत्व मौजूद हों, तो वे समान होने चाहिए, और इसलिए यह अद्वितीय होता है।

योग (संकलन) के लिए सरलीकरण का नियम मान्य है

हम यही करते हैं जब हम किसी समानता (equality) में से पदों को हटाते हैं:

a+b = a+c \longleftrightarrow a = c

इस स्थिति को सिद्ध करना कठिन नहीं है, केवल निम्नलिखित तर्क को अपनाने की आवश्यकता है:

\begin{array}{rll} (1) & a+b = a+c & \text{; प्रत्यय (Premise)} \\ (2) & a+b-a = a+c-a & \text{; $(1)$ से, दोनों पक्षों में $-a$ जोड़कर} \\ (3) & (a-a)+b = (a-a)+c & \text{; $(2)$ से, परिवर्तनशीलता (commutativity) और सहसंयोजकता (associativity)} \\ (4) & 0+b = 0+c & \text{; $(3)$ और संवर्धनात्मक व्युत्क्रम (additive inverse) से} \\ (5) & b = c & \text{; $(4)$ और संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व (additive identity) से} \\ \end{array}

चूँकि यह तर्क आगे और पीछे दोनों दिशाओं में समान चरणों से लागू किया जा सकता है, इसलिए

a+b=a+c \dashv \vdash b=c

जो इसके समतुल्य है:

\vdash a+b=a+c \longleftrightarrow b=c

संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व, गुणा के लिए एक अवशोषक (absorbent) तत्व भी है

इसका सीधा सा मतलब यह है कि अखंडता डोमेन में प्रत्येक a के लिए, यह सत्य होगा कि:

a\cdot 0 = 0

इसका प्रमाण भी सरल है, निम्नलिखित तर्क को देखें:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+0) & \text{; वितरणीयता (Distributive laws)}\\ (2) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot (a+a-a) & \text{; $(1)$ और संवर्धनात्मक व्युत्क्रम से} \\ (3) & a\cdot a + a\cdot 0 = a\cdot a + a\cdot a - a\cdot a & \text{; $(2)$ और वितरणीयता से} \\ (4) & a\cdot 0 = a\cdot a - a\cdot a & \text{; $(3)$ और संकलन के सरलीकरण (simplification) से} \\ (5) & a\cdot 0 = 0 & \text{; $(4)$ और संवर्धनात्मक व्युत्क्रम से} \\ \end{array}

चिह्नों का नियम (Law of Signs):

समान चिह्न वाली संख्याओं का गुणनफल हमेशा धनात्मक (positive) होता है, जबकि विपरीत चिह्नों वाली संख्याओं का गुणनफल हमेशा ऋणात्मक (negative) होता है। इस गुणधर्म का प्रमाण भी सरल है:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot b = a\cdot b + 0 & \text{; संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व (Additive Identity)}\\ (2) & a\cdot b = a\cdot b + (a)\cdot(-b) - (a)\cdot(-b) & \text{; $(1)$ और संवर्धनात्मक व्युत्क्रम (Additive Inverse)}\\ (3) & a\cdot b = a\cdot (b -b) - (a)\cdot(-b) & \text{; $(2)$ और संवर्धनात्मक व्युत्क्रम से} \\ (4) & a\cdot b = a\cdot 0 + (-a)\cdot(-b) & \text{; $(3)$ और संवर्धनात्मक व्युत्क्रम से} \\ (5) & a\cdot b = (-a)\cdot(-b) & \text{; $(4)$ और गुणात्मक अवशोषक (Multiplicative Absorption) से} \\ \end{array}

अतः: ab = (-a)(-b)

विपरीत चिह्नों के लिए भी प्रक्रिया समान होती है:

\begin{array}{rll} (1) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + 0 & \text{; संवर्धनात्मक तटस्थ तत्व} \\ (2) & a\cdot(-b) = a \cdot (-b) + a \cdot b - a \cdot b & \text{; $(1)$ और संवर्धनात्मक व्युत्क्रम से} \\ (3) & a\cdot(-b) = a \cdot (b-b) - a \cdot b & \text{; $(2)$ और वितरणीयता (Distributivity) से} \\ (4) & a\cdot(-b) = a \cdot 0 - a \cdot b & \text{; $(3)$ और संवर्धनात्मक व्युत्क्रम से} \\ (5) & a\cdot(-b) = - a \cdot b & \text{; $(4)$ और गुणात्मक अवशोषक से} \\ \end{array}

अतः: a(-b) = -a(b)

यदि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य है, तो कम से कम एक संख्या शून्य होगी

एक और महत्वपूर्ण गुणधर्म जो अक्सर उपयोग किया जाता है, वह यह है:

ab=0 \leftrightarrow (a=0 \vee b=0)

इसका प्रमाण भी सरल है:

\begin{array}{rll} (1) & \{a=0\} \models a\cdot b = 0 & \textbf{; गुणात्मक अवशोषक (Multiplicative Absorption)} \\ (2) & \models a=0 \rightarrow a\cdot b = 0 &\text{; TD$(1)$} \\ (3) & \models \neg (a\cdot b = 0 ) \rightarrow \neg(a=0) &\text{; CPI$(2)$} \\ (4) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) &\text{; RTD$(3)$} \\ (5) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(b=0) &\text{; अनुरूप $(4)$} \\ (6) & \{\neg (a\cdot b = 0 ) \}\models \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; $\wedge$-int$(4,5)$} \\ (7) & \models (\neg (a\cdot b = 0 )) \rightarrow \neg(a=0) \wedge \neg(b=0) &\text{; TD(6)} \\ (8) & \models \neg(\neg(a=0) \wedge \neg(b=0) ) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; CPI(7)} \\ (9) & \models (a=0 \vee b=0) \rightarrow (a\cdot b = 0 ) &\text{; DM(8)} \\ (10)& \{a\neq 0 , a\cdot b=0\} \models b=0 & \textbf{; गुणात्मक अवशोषक (Multiplicative Absorption)} \\ (11)& \{a\cdot b=0\} \models a\neq 0 \rightarrow b=0 & \text{; TD(10)} \\ (12)& \{a\cdot b=0\} \models \neg(a\neq 0) \vee b=0 & \text{; $\rightarrow$-Def(11)} \\ (13)& \{a\cdot b=0\} \models a=0 \vee b=0 & \text{; DN(12)} \\ (14)& \models (a\cdot b=0) \rightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; TD(13)} \\ (15)& \models (a\cdot b=0) \leftrightarrow (a=0 \vee b=0) & \text{; De(9,14)} \end{array}

अभ्यास

मान लें कि a, b और c अखंडता डोमेन D के कोई भी तत्व हैं। सिद्ध करें कि निम्नलिखित गुणधर्म सत्य हैं:

1. (-a)=(-1)a [समाधान]
2. -(a+b)=(-a) + (-b) [समाधान]
3. a(-b)=-(ab) [समाधान]
4. -(-a)=a [समाधान]
5. a(b-c) = ab - ac [प्रस्तावित]
6. (a-b)+(b-c) = a-c [प्रस्तावित]
7. सभी a\in D के लिए, एक अद्वितीय 1 मौजूद होता है, ऐसा कि a\cdot 1 = a [समाधान]
8. xx = x \leftrightarrow (x=1 \vee x=0) [प्रस्तावित]